Γιατί το 0,999… ισούται με 1

Ο αριθμός 0,999…, του οποίου η υποδιαστολή ακολουθείται από άπειρα εννιάρια, ισούται με ένα. Όχι περίπου, όχι «σχεδόν», αλλά ακριβώς. Οι περισσότεροι δεν το πιστεύουν με την πρώτη, και οι διαφωνίες για αυτόν τον έναν αριθμό είναι από τις συχνότερες διαφωνίες για τα μαθηματικά στο διαδίκτυο. Θα δούμε μερικές αποδείξεις και στο τέλος θα καταλάβουμε γιατί η διαίσθησή μας επιμένει να ψιθυρίζει το αντίθετο.

Όπως κάθε περιοδικό αριθμό, μπορούμε και αυτόν να τον γράψουμε με μια γραμμή πάνω από το ψηφίο που επαναλαμβάνεται:

$$0,\bar{9}=1$$

Με τα τρίτα

Ξεκινάμε από ένα κλάσμα που δεν ανησυχεί κανέναν. Αν διαιρέσουμε το ένα με το τρία, βγαίνει περιοδικός αριθμός:

$$\frac{1}{3}=\mathrm{0,333}\dots$$

Τώρα πολλαπλασιάζουμε επί τρία και τα δύο μέλη της εξίσωσης. Αριστερά βγαίνει

$$3\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1.$$

Δεξιά πολλαπλασιάζουμε κάθε τριάρι χωριστά. Επειδή 3 · 3 = 9 και δεν προκύπτει κανένα κρατούμενο για την επόμενη τάξη, βγαίνει

$$3\cdot \mathrm{0,333}\dots =\mathrm{0,999}\dots$$

Τα αριστερά μέλη είναι ίσα, άρα πρέπει να είναι ίσα και τα δεξιά: 1 = 0,999… Όποιος δέχεται ότι το 0,333… είναι το ένα τρίτο, δεν μπορεί να αρνηθεί ούτε αυτό.

Με πολλαπλασιασμό επί δέκα

Αυτή τη διαδικασία την έχουμε ήδη συναντήσει στο άρθρο για τους ρητούς αριθμούς, όπου με τον ίδιο τρόπο μετατρέπεται ένας περιοδικός αριθμός σε κλάσμα. Συμβολίζουμε τον αριθμό μας με a:

$$a=0,\bar{9}$$

Πολλαπλασιάζουμε επί δέκα. Η υποδιαστολή μετακινείται κατά μία θέση προς τα δεξιά και μετά από αυτήν εξακολουθούν να υπάρχουν άπειρα εννιάρια:

$$10a=9,\bar{9}$$

Από αυτό αφαιρούμε το a και όλα τα εννιάρια μετά την υποδιαστολή αλληλοαναιρούνται:

$$9a=9$$

Μένει να διαιρέσουμε με το εννέα:

$$a=1$$

Ποια είναι η διαφορά;

Αν τα 0,999… και 1 διέφεραν, η διαφορά τους θα ήταν κάποιος θετικός αριθμός. Ας προσπαθήσουμε να τη βρούμε. Πρώτα παίρνουμε μόνο πεπερασμένο πλήθος εννιαριών:

$$\begin{array}{rcl}1-0,9& =& 0,1\\ 1-0,99& =& 0,01\\ 1-\mathrm{0,999}& =& \mathrm{0,001}\end{array}$$

Κάθε επιπλέον εννιάρι μικραίνει τη διαφορά δέκα φορές. Στο πάνω μέρος της εικόνας φαίνεται ο άξονας των πραγματικών αριθμών από το μηδέν ως το ένα, με μπλε σημείο στο 0,9 και με κόκκινο τμήμα, που είναι αυτό που λείπει ακόμη μέχρι το ένα. Κάθε επόμενος άξονας μεγεθύνει αυτό το τμήμα δέκα φορές, και γι' αυτό τα μπλε σημεία βρίσκονται διαδοχικά στο 0,9, στο 0,99 και στο 0,999:

Ας διαλέξουμε έναν οσοδήποτε μικρό θετικό αριθμό, ας πούμε ένα δισεκατομμυριοστό: με αρκετά εννιάρια η διαφορά θα γίνει ακόμη μικρότερη. Στο 0,999… όμως τα εννιάρια υπάρχουν όλα μαζί, άπειρα, οπότε η διαφορά πρέπει να είναι μικρότερη από οποιονδήποτε θετικό αριθμό. Κανένας θετικός αριθμός όμως δεν είναι μικρότερος από όλους τους θετικούς αριθμούς, αφού θα έπρεπε να είναι μικρότερος ακόμη και από το μισό του. Η διαφορά λοιπόν μπορεί να είναι μόνο μηδέν.

Μια συχνή ένσταση είναι ότι η διαφορά ισούται με 0,000…01, δηλαδή άπειρα μηδενικά και στο τέλος ένα. Όμως μια άπειρη αλληλουχία μηδενικών δεν έχει τέλος, και έτσι δεν υπάρχει πουθενά να γράψουμε το ένα.

Ανάμεσά τους δεν χωράει τίποτα

Ανάμεσα σε οποιουσδήποτε δύο διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς βρίσκουμε πάντα έναν ακόμη αριθμό, για παράδειγμα τον μέσο όρο τους. Ανάμεσα στο 0,5 και στο 0,6 βρίσκεται το 0,55, ανάμεσα στο 0,5 και στο 0,55 το 0,525. Αυτό ισχύει για κάθε ζεύγος διαφορετικών αριθμών, όσο κοντά κι αν βρίσκονται: ο μέσος όρος τους χωράει πάντα ανάμεσά τους.

Ποιος αριθμός θα βρισκόταν ανάμεσα στο 0,999… και στο 1; Θα έπρεπε να είναι μεγαλύτερος από το 0,999… και ταυτόχρονα μικρότερος από το ένα, άρα θα άρχιζε με μηδέν και υποδιαστολή. Τουλάχιστον ένα ψηφίο του μετά την υποδιαστολή θα έπρεπε τότε να είναι μεγαλύτερο από το εννέα, και τέτοιο ψηφίο δεν υπάρχει. Ανάμεσα στους δύο αριθμούς δεν χωράει τίποτα, άρα είναι ίσοι.

Ως άπειρο άθροισμα

Ένα δεκαδικό ανάπτυγμα είναι στην πραγματικότητα άθροισμα: το 0,999… σημαίνει εννέα δέκατα συν εννέα εκατοστά συν εννέα χιλιοστά και ούτω καθεξής:

$$\mathrm{0,999}\dots =\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\dots$$

Κάθε προσθετέος είναι το ένα δέκατο του προηγούμενου, άρα προσθέτουμε όρους μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο ${\alpha }_1=\frac{9}{10}$ και λόγο $\lambda =\frac{1}{10}$. Ο λόγος είναι κατ' απόλυτη τιμή μικρότερος από ένα, και γι' αυτό το άπειρο άθροισμα έχει πεπερασμένη τιμή, που τη βρίσκουμε με τον τύπο

$$S=\frac{{\alpha }_1}{1-\lambda }.$$

Αντικαθιστούμε:

$$S=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}}=1$$

Για την ακρίβεια, το άθροισμα μιας άπειρης σειράς είναι το όριο των αθροισμάτων των πρώτων όρων της, δηλαδή της ακολουθίας 0,9; 0,99; 0,999; … Αυτή πλησιάζει το ένα, και ο συμβολισμός 0,999… σημαίνει ακριβώς αυτό το όριο. Σε αυτό στηρίζονται και οι προηγούμενες αποδείξεις.

Γιατί δεν θέλουμε να το πιστέψουμε

Η διαίσθηση μπερδεύει τα «πολλά εννιάρια» με τα «άπειρα εννιάρια». Ο αριθμός 0,999 με τρία εννιάρια είναι πράγματι μικρότερος από το ένα, όπως και ο αριθμός με ένα εκατομμύριο εννιάρια. Τυπωμένος θα έπιανε μερικές εκατοντάδες σελίδες, κι όμως στο ένα θα του έλειπε ακόμη κάτι. Το $0,\bar{9}$ όμως δεν είναι πολλά εννιάρια που κάπου τελειώνουν. Δεν τελειώνουν ποτέ, και γι' αυτό δεν του λείπει τίποτα.

Συχνά φανταζόμαστε επίσης το 0,999… ως διαδικασία: τα εννιάρια προστίθενται συνεχώς και ο αριθμός σέρνεται προς το ένα. Ο αριθμός όμως δεν κινείται πουθενά. Όλα τα εννιάρια υπάρχουν μέσα του από την αρχή και η τιμή του δεν αλλάζει.

Το δεύτερο εμπόδιο είναι ότι ένας αριθμός θα είχε δύο διαφορετικές γραφές. Αυτό όμως το γνωρίζουμε ήδη από τα κλάσματα:

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{50}{100}=0,5$$

Και όπως το μισό γράφεται με διάφορα κλάσματα, υπάρχει και για το 0,5 μία ακόμη δεκαδική γραφή:

$$0,5=\mathrm{0,499}9\dots$$

Δύο γραφές έχει κάθε αριθμός με πεπερασμένο δεκαδικό ανάπτυγμα εκτός από το μηδέν, για παράδειγμα 0,25 = 0,24999… ή 7 = 6,999… Δεν πρόκειται για δύο αριθμούς, αλλά για έναν αριθμό με δύο μεταμφιέσεις.

Δες επίσης

• Ρητοί αριθμοί
• Πραγματικοί αριθμοί
• Ακολουθίες
• Γιατί δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν