Vektorer

En vektor er en størrelse, som ud over en længde også har en retning. Det adskiller den fra et almindeligt tal, en såkaldt skalar, som kun har en størrelse.

Rettet linjestykke

Vi har to forskellige punkter A, B i planen. Mellem disse punkter kan vi trække et linjestykke. Sådan et linjestykke skriver vi som regel AB, men det gælder, at rækkefølgen af punkterne ikke betyder noget. Linjestykket AB er helt det samme som linjestykket BA.

Det er ikke altid praktisk, og derfor indfører vi begrebet rettet linjestykke, hvor vi skelner mellem et begyndelsespunkt og et endepunkt. Det rettede linjestykke AB har begyndelsespunkt i A og endepunkt i B. På tegningen markerer vi et rettet linjestykke med en pil, i teksten skriver vi et rettet linjestykke med en pil over punkterne: $\overrightarrow{AB}$. Eksempel:

Med blåt er vist linjestykket AB, med rødt det rettede linjestykke $\overrightarrow{CD}$. Hvis vi har et rettet linjestykke $\overrightarrow{AB}$, for hvilket der gælder A = B, kalder vi det et rettet nullinjestykke. Et sådant linjestykke har samme begyndelsespunkt og endepunkt, man ville næsten ikke sige, at det er et linjestykke, når det i virkeligheden bare er ét punkt.

Længden af et rettet linjestykke er den samme som længden af et almindeligt linjestykke. Der gælder $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$.

Retningen af et rettet linjestykke

Se på de følgende to rettede linjestykker $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{CD}$:

Man kan nærmest se med det samme, at de rettede linjestykker har den samme retning. Selv om vi kunne definere begrebet »retning« ordentligt, bliver vi hellere ved den intuitive forståelse af begrebet »retning«. Forenklet sagt har rettede linjestykker den samme retning, hvis de er parallelle, og hvis det ene ikke peger i den modsatte retning af det andet. Dette er alle par af rettede linjestykker, som har samme retning:

De sidste, grønne, linjestykker er de rettede linjestykker $\overrightarrow{IJ}$ og $\overrightarrow{IK}$. Nu følger et eksempel på par af linjestykker, som ikke har samme retning:

Hvad er en vektor

Lad os vende tilbage til figuren med to rettede linjestykker med samme retning:

Vi ser, at disse rettede linjestykker ikke blot har den samme retning, men også den samme længde. Den eneste forskel mellem dem er, at de er placeret et andet sted. Sådanne rettede linjestykker, som har samme retning og samme længde, repræsenterer én og samme vektor.

Én vektor kan vi altså tegne i planen (rummet …) på uendeligt mange måder – vi skal bare tage et vilkårligt rettet linjestykke, som har samme retning og samme længde som den givne vektor. De følgende rettede linjestykker repræsenterer således alle sammen én vektor:

En vektor er givet alene ved sin længde og retning. En vektors længde og retning er den samme som længden og retningen af det rettede linjestykke, der repræsenterer vektoren. Vektorer skriver vi som regel med fed skrift og med pil, ligesom et rettet linjestykke. Vi kan således have vektoren $\overrightarrow{\mathbf{AB}}$ eller kortere vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Ét bestemt rettet linjestykke er så en repræsentant for vektoren. På den foregående figur har vi i alt 7 rettede linjestykker, og hvert af dem er således en anden repræsentant for vektoren. De rettede linjestykker $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{MN}$ repræsenterer den samme vektor, lad os sige $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, men det er to forskellige repræsentanter for vektoren $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Parallelle vektorer

Vi har to vektorer $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Vi siger, at disse vektorer er parallelle, hvis de ligger på parallelle linjer. Vektorerne $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ behøver ikke have samme længde. Retningen skal enten være den samme eller den modsatte. Eksempler på parallelle vektorer:

Alle de røde vektorer er parallelle med hinanden. På retningen kommer det ikke videre an, det er ligegyldigt, om de peger mod det øverste højre hjørne eller mod det nederste venstre. Den blå vektor $\overrightarrow{GH}$ er ikke parallel med dem.

Men hvis parallelle vektorer har samme retning, siger vi, at de er ensrettede, og hvis de ikke har samme retning, er de modsatrettede. Lad os vende tilbage til den foregående figur: Vektorerne $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{EF}$ er ensrettede, vektorerne $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{KL}$ er modsatrettede.

En vektors koordinater

Vi ved allerede, at én vektor kan udtrykkes med uendeligt mange rettede linjestykker. Et af disse linjestykker har sit begyndelsespunkt i origo, i punktet (0, 0), hvis vi taler om planen, og i punktet (0, 0, 0), hvis vi taler om rummet. Se på den følgende figur:

De rettede linjestykker $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{CD}$ har samme retning og samme længde, det er én vektor. Samtidig udgår linjestykket $\overrightarrow{CD}$ fra koordinatsystemets origo, punktet C har koordinaterne (0, 0). Det samme gælder for parret af linjestykker $\overrightarrow{EF}$ og $\overrightarrow{KL}$.

Hvis vi ved, at linjestykkerne $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ udgår fra origo, kan vi indføre den aftale, at vi betegner disse vektorer blot med endepunktet. Begyndelsespunktet er det samme (det er koordinatsystemets origo), så for at kunne skelne linjestykkerne $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ fra hinanden er det nok at skrive deres endepunkter op.

Vi siger, at vektoren $\overrightarrow{AB}$, og dermed også vektoren $\overrightarrow{CD}$, har koordinaterne $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$, som er koordinaterne til punktet D – endepunktet af linjestykket $\overrightarrow{CD}$. Vektoren $\overrightarrow{KL}$ har så koordinaterne $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\right)$, koordinaterne til punktet F.

Sådan beregner du en vektors koordinater

Nu den matematiske måde at bestemme en vektors koordinater på. Vi tager udgangspunkt i, at vi kender koordinaterne til punkterne A, B, som bestemmer vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Lad os altså have vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, bestemt ved punkterne A(2, 3) og B(5, 4). Det er den røde vektor længere oppe på den foregående figur. Hvordan finder vi koordinaterne til punktet D, altså endepunktet af det rettede linjestykke, som repræsenterer vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og begynder i origo?

Vi flytter simpelthen hele linjestykket $\overrightarrow{AB}$ til koordinatsystemets origo. For at få punktet A til origo skal vi flytte det 2 ruder til venstre og 3 ruder ned. Det samme med punktet B. Med andre ord: Fra begge punkter A og B trækker vi koordinaterne til punktet A fra. Dermed flytter vi linjestykket $\overrightarrow{AB}$ derhen, hvor linjestykket $\overrightarrow{CD}$ er tegnet. Vi kan skrive:

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2,3)-(2,3)& =& (0,0)\\ B-A=(5,4)-(2,3)& =& (3,1)\end{array}$$

Koordinaterne til vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ er så $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$, koordinaterne til endepunktet af det rettede linjestykke, som har begyndelsespunkt i origo.

Vi kan skrive, at hvis vi har vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ bestemt ved punkterne A(x₁, y₁) og B(x₂, y₂), så finder vi koordinaterne til vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ sådan:

$$B-A=\left(\begin{array}{c}{x}_2-x_1\\ y_2-y_1\end{array}\right)$$

Koordinaterne til vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ skriver vi i en søjle mellem runde parenteser, så koordinaterne til den foregående vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ville vi skrive sådan: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$.

Vi kan også vende tilbage til figuren og beregne koordinaterne til vektoren $\overrightarrow{KL}$. Koordinaterne til punkterne K og L er K(−2, 1), L(−3, 5). Vektorens koordinater bliver således

$$L-K=(-3,5)-(-2,1)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\right)$$

Vi ser, at vi fik de rigtige koordinater til punktet F.

Sådan beregner du en vektors længde

Når vi kender vektorernes koordinater, kan vi nemt beregne deres længde. Ud fra Pythagoras' sætning kan vi ret nemt udlede, at længden af en vektor med koordinaterne $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$ i planen er

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

På den følgende figur ser vi, at vektorens koordinater stemmer overens med længderne af siderne i den trekant, vi har dannet, og at vi efter anvendelsen af Pythagoras' sætning virkelig let kan beregne vektorens længde.

Hvis vi har vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$, bliver dens længde

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

Og nu følger to eksempler til at øve stoffet.

1. Bestem koordinaterne til vektoren u givet ved punkterne A(3, 7), B(−1, 0). Her er fremgangsmåden helt enkel og ligetil. $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   Vektoren har altså koordinaterne $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -7\end{array}\right)$

2. Vi ved, at vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ har koordinaterne: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$ og er dannet af punkterne A(6, 6) og B(x₁, y₁), dvs. $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$. Find koordinaterne til punktet B.

   Vi opstiller igen vores gamle bekendte ligning og isolerer den ubekendte:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   Den anden koordinat finder vi med en identisk fremgangsmåde:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   Punktet B har koordinaterne (8, 9).