✖

Naturlige tal

Naturlige tal er de tal, vi oftest møder i hverdagen. Det er de positive hele tal, altså tallene 1, 2, 3, 4, …

Betegnelse

De naturlige tal danner en mængde, som indeholder de positive hele tal 1, 2, 3, 4, … Denne mængde betegner vi sædvanligvis med bogstavet N med en fordoblet første streg, sådan: ℕ. Det kommer af det engelske »naturals«.

Nogle gange forudsætter man, at mængden af naturlige tal også indeholder nul. Hvis vi skal skelne, bruger vi sædvanligvis det klassiske ℕ for mængden uden nul, og hvis vi også vil have nul med, skriver vi nul som indeks sådan: ℕ0. Ofte bruger vi desuden skrivemåden med plus for at fremhæve, at vi regner med de naturlige tal uden nul: ℕ+.

De naturlige tal bruger vi især til at angive et antal af noget (»vi har tre stole derhjemme«, »i parken er der tredive bænke«, …) og til at angive rækkefølge (»det første menneske på Månen«, »Canada er det næststørste land i verden«, …).

Egenskaber

De naturlige tal har nogle interessante egenskaber:

  1. Mængden af naturlige tal er uendelig, men den er tællelig, vi kan ordne dem alle i en talfølge.
  • De naturlige tal er lukkede under addition og multiplikation. Det betyder, at hvis vi ganger eller lægger to vilkårlige naturlige tal sammen, får vi igen et naturligt tal.
  • De er ikke lukkede under subtraktion, for hvis vi trækker et større tal fra et mindre, får vi et negativt tal.
  • Ligeledes er de heller ikke lukkede under division, for eksempel er 7/2 ikke et naturligt tal.

Division med rest

I det forrige afsnit sagde vi, at de naturlige tal ikke er lukkede under division. Vi kan dog definere operationen division med rest, som du sikkert kender. Hvis vi dividerer 7/2, får vi 3,5. Hvis vi bruger division med rest, får vi resultatet 3 og resten 1. Altså hvis vi ganger 3 · 2 og lægger resten til, får vi 7 tilbage: 3 · 2 + 1 = 7.

De naturlige tal er altså ikke lukkede under denne operation, men de naturlige tal inklusive nul er det. Både kvotienten og resten ligger altså i mængden ℕ0.

Definitionen af division med rest ser sådan ud:

a=bq+r;a,q,r∈N0,b∈N,r<b

I definitionen dividerede vi a:b, tallet r kaldes resten ved division og q kvotienten. Hvad betyder betingelserne? Vi forudsætter, at vi bevæger os i de naturlige tal inklusive nul, men fordi vi ikke kan dividere med nul, vælger vi b fra mængden uden nul.

Så for eksempel ved beregningen af 19:5 ville der gælde: a = 19 og b = 5. Opskrivningen ville se sådan ud:

19=5⋅3+4

Altså q = 3, det er kvotienten, og r = 4, det er resten.