Grundlæggende statistik

Statistik er en videnskab, der undersøger virkelige data og ved hjælp af sandsynlighedsregning forsøger at beskrive dem.

Statistik har sin egen sektion

Dette er en gammel og forældet artikel. Statistik har nu sin egen sektion med en indledende artikel, Grundlæggende begreber i statistik.

Grundlæggende begreber

I statistik arbejder man med nogle få grundlæggende begreber, som vi beskriver her.

Først og fremmest er der populationen (det statistiske materiale), som er en endelig mængde af nogle data, vi vil undersøge. Data kan være af en hvilken som helst art, i princippet kan det være hvad som helst. Hvis du vil undersøge den gennemsnitlige løn i Danmark, er populationen mængden af alle mennesker i Danmark. Antallet af elementer i populationen kaldes populationens størrelse. Størrelsen af den population, vi har defineret, ville altså være lig med Danmarks indbyggertal.

Dernæst har vi begrebet enhed, som er et konkret element i populationen. I vores tilfælde ville en enhed være ét konkret menneske.

Til sidst har vi variablen, som er det, vi vil måle. I vores eksempel ville variablen netop være lønnen. En variabel kan enten være kvalitativ eller kvantitativ. En kvantitativ (kvantitet = mængde, antal) variabel er en variabel, der kan udtrykkes med tal (for eksempel netop lønnen, højden, antallet af børn, …), mens en kvalitativ variabel kan udtrykkes med ord (farve, ja/nej, beskæftigelse, …).

Hyppighed

Hyppigheden kan enten være relativ eller absolut og angiver, hvor mange gange en given værdi af variablen forekommer i populationen – enten absolut, eller relativt i forhold til det samlede antal elementer i populationen.

Det er vigtigt, at vi, når vi beregner hyppigheden, anvender variablen. Hvis vi nemlig ville beregne den absolutte hyppighed af en enhed, måtte vi nødvendigvis nå frem til enten nul eller et, fordi populationen er en mængde, og en mængde som sådan ikke tillader, at den indeholder flere ens elementer.

Den absolutte hyppighed af værdien z af variablen angiver altså antallet af forekomster af værdien z i populationen S. Eksempel: Lad os se på en klasse med ti elever. Hver elev har fået en karakter i matematik på karakterbladet, en af værdierne fra 02 til 12. Karaktererne er noteret i følgende tabel:

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 10& 02& 7& 10& 12& 12& 10& 4& 12& 7\end{array}$$

Bemærkning: Populationen i dette eksempel ville være de ti klassekammerater, noget i retning af

$$S=\{\text{William},\text{Ida},\text{Oscar},\dots \}$$

For enkelheds skyld har vi i den første række et nummer for hver elev, så i første række står enhederne, altså elementerne i populationen. I anden række står værdierne af variablen, altså værdierne af »afsluttende karakter i matematik« for den pågældende elev.

Den absolutte hyppighed af værdien (karakteren på karakterbladet) z = 7 ville altså være lig med to, kun to elever fik karakteren 7 (det er »eleverne« 3 og 10). Den absolutte hyppighed af værdien z = 12 ville være tre (»eleverne« 5, 6 og 9).

Den relative hyppighed (frekvensen) angiver, hvor mange procent af værdierne af variablen i populationen der er lig med værdien z. Den relative hyppighed af værdien z beregner vi sådan:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

hvor z_a er den absolutte hyppighed af værdien z, og |S| er populationens størrelse, altså antallet af elementer. Den relative hyppighed af karakteren 7 ville så være:

$$r_7=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

Størrelsen af vores population er ti, fordi der er ti elever i klassen. Vi får procenttallet ved at gange med hundrede, altså ville vi få 20 %. Den relative hyppighed af karakteren 12 ville være

$$r_{12}=\frac{3}{10}.$$

Aritmetisk gennemsnit

Det aritmetiske gennemsnit, eller ofte bare gennemsnittet, er gennemsnittet af alle værdier i populationen. Med ordet værdi menes her værdien efter anvendelse af variablen. Gennemsnittet beregner vi ved at lægge alle værdierne sammen og dividere med antallet af værdier i populationen. Cirka sådan her:

$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Jeg har også medtaget udtrykket med en sum, hvis du synes, det er mere læseligt. Men udtrykket med brøken ovenfor er nok. Værdierne x er alle værdierne i vores population.

Eksempel: Vi tager data fra den foregående tabel og beregner gennemsnitskarakteren pr. elev.

$$\overline{x}=\frac{10+2+7+10+12+12+10+4+12+7}{10}=\frac{86}{10}=8,6$$

I vores klasse er gennemsnitskarakteren 8,6. Som du kan se, kan det aritmetiske gennemsnit give en værdi, som slet ikke er gyldig – du kan ikke få karakteren 8,6.

Det aritmetiske gennemsnit egner sig også dårligt, når en del af data har en helt anden værdi end resten. Hvis vi har en population med værdierne 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75, så bliver det aritmetiske gennemsnit

$$\overline{x}=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13,14.$$

Vi ser, at den resulterende værdi ligger langt fra alle værdierne i populationen. Den er flere gange større end de første seks tal og flere gange mindre end den sidste værdi. Det er et problem, som for eksempel medianen kan løse, se nedenfor. Nu ved du i det mindste, hvorfor to tredjedele af befolkningen ikke når op på gennemsnitslønnen – der findes en lille gruppe mennesker med meget høje lønninger, som trækker det aritmetiske gennemsnit op.

Geometrisk gennemsnit

Det geometriske gennemsnit beregnes på samme måde som det aritmetiske gennemsnit, men man bruger multiplikation i stedet for addition og rod i stedet for division. Det geometriske gennemsnit beregner vi altså sådan:

$${\overline{x}}_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Det geometriske gennemsnit kan bruges som en indikator for vækst. Lad os som eksempel antage, at prisen på et produkt steg med 10 % i løbet af et år, med 15 % det næste år og med 5 % det tredje år. Den oprindelige pris c var altså efter de tre år nået op på værdien

$$1,1\cdot 1,15\cdot 1,05c=\mathrm{1,328}25c.$$

Det geometriske gennemsnit af disse koefficienter ville være:

$${\overline{x}}_g=\sqrt[3]{1,1\cdot 1,15\cdot 1,05}\approx \mathrm{1,099}2419$$

Hvad betyder det? At hvis prisen hvert år blev ganget med netop tallet 1,0992419 (altså steg med cirka 9,92 %), så ville slutprisen blive den samme:

$$\mathrm{1,099}{2419}^3\approx \mathrm{1,328}25$$

Typetal og median

Typetallet for en variabel er den værdi, der har den højeste hyppighed, og det skrives Mod(x). Hvis vi vender tilbage til eksemplet med karaktererne, så er typetallene værdierne 10 og 12, fordi de forekommer hyppigst – begge har den absolutte hyppighed 3.

Medianen er den midterste værdi og skrives Med(x). Hvis vi kan ordne værdierne i en ikke-aftagende talfølge

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

så er medianen den værdi, der står midt i denne talfølge. Den midterste værdi er forskellig, alt efter om talfølgen har et ulige eller et lige antal elementer. Hvis antallet er ulige, er medianen elementet på pladsen

$$\text{Med}(x)=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Hvis talfølgen har et lige antal elementer, har den intet element, der står helt i midten (eksempel: talfølgen 1, 2, 3, 4 har simpelthen intet midterste element). Derfor tager vi gennemsnittet af de to midterste værdier (gennemsnittet af værdierne 2 og 3). Formlen for lige n er altså:

$$\text{Med}(x)=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Lad os vende tilbage til eksemplet, der viste et dårligt anvendt aritmetisk gennemsnit. Vi havde populationen af værdier s=1, 3, 2, 5, 4, 2, 75. Typetallet ville være lig med to, det er det eneste tal, der gentages. For at beregne medianen ordner vi tallene i en talfølge:

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

Talfølgen har syv elementer, det midterste element er altså a₄, og det er lig med tre.