Matricer

En matrix over et legeme P er en afbildning {1, 2, …, n} × {1, 2, …, m} → P. En matrix betegnes sædvanligvis med store bogstaver: A = (…). Og nu på almindeligt dansk.

Grundlæggende begreber

En matrix er simpelthen en slags tabel med n søjler og m rækker, hvor denne betegnelse for rækker og søjler ikke altid er den samme, så vær opmærksom på det. I hver celle i tabellen står så et tal eller et andet udtryk. En matrix behøver ikke kun at være rent numerisk, selv om du i begyndelsen nok ikke vil møde andre matricer. Så hvordan kan en matrix se ud:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 51 \end{array})$

Denne matrix har to rækker og tre søjler. Matricens elementer betegnes ved hjælp af indekser, og i stedet for det store bogstav bruges det lille bogstav: a₁₁ = 0 eller a₂₃ = 51. Det første indeks angiver rækken og det andet indeks søjlen.

Særlige typer matricer

Matricer kan have forskellige egenskaber, og nogle særlige matricer har endda deres egne navne.

En kvadratisk matrix er en matrix, som har lige så mange rækker som søjler. Hvis en matrix ikke er kvadratisk, er den rektangulær. Eksempel på en kvadratisk matrix:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})$

En nulmatrix er en matrix, som har nuller på alle pladser. a_ij = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

En enhedsmatrix er en kvadratisk matrix, som har ettaller på hoveddiagonalen og nuller alle andre steder. Hoveddiagonalen er en slags »diagonal« fra venstre mod højre. Det er simpelthen tallene på de koordinater, hvor i = j.

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

En trappematrix er en matrix, som har nulrækker til sidst (eller ingen nulrækker), og hvor hver række, der ikke er nul, begynder med flere nuller end den foregående række. Det her er alle trappematricer:

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & π \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), A_{3} = (\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array})$

En transponeret matrix til matricen A er matricen A^T, for hvilken der gælder $a_{i j} = a_{j i}^{T}$ , dvs. at det element, som stod i den i-te række og den j-te søjle, i den transponerede matrix vil stå i den j-te række og den i-te søjle. Du bytter simpelthen matricens rækker om med søjler.

$\begin{array}{rcl} {(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{ccc} 0 & 8 & 47 \\ 1 & 5 & 154 \\ 5 & 23 & 2 \end{array}) \\ {(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{array}) \end{array}$

En symmetrisk matrix er en kvadratisk matrix A, som opfylder ligheden A = A^T. Elementer, der er symmetriske om diagonalen, er ens. Vi kan altså skrive, at a_ij = a_ji.

$A = (\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{array})$

En skævsymmetrisk matrix er næsten det samme som en symmetrisk matrix, blot har elementerne på den anden side modsat fortegn: A = −A^T. Derfor skal elementerne på hoveddiagonalen være nul, fordi a = −a = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 3 & - 4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 4 & - 5 & 0 \end{array})$

En diagonalmatrix er en matrix, som har nuller alle steder undtagen på hoveddiagonalen. Mere præcist skal der være nuller alle andre steder, hvad der står på hoveddiagonalen, er ikke specificeret.

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Grundlæggende operationer med matricer

Matricer kan vi lægge sammen, vi kan gange dem med et tal, og vi kan også gange matricer med hinanden.

Addition af matricer er ret intuitiv. Hvis matricerne er af samme type (= samme antal søjler og rækker), får den resulterende matrix på de samme pladser summerne af tallene på de tilsvarende pladser i de foregående matricer. Hvis vi altså lægger matricerne sammen A + B = C, så gælder a_ij + b_ij = c_ij.

$(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) + (\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 3 \\ 10 & 20 & 30 \\ 7 & - 54 & - 12 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 5 & 5 & 8 \\ 18 & 25 & 53 \\ 54 & 100 & - 10 \end{array})$

Addition af matricer er naturligvis kommutativ og associativ. A + B = B + A og A + (B + C) = (A + B) + C.

Multiplikation af matricer med et tal er også intuitiv. Du tager tallet og ganger hvert element i matricen med det, mere er der ikke i det. k · A = k · a_ij.

$5 \cdot (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 5 & 25 \\ 40 & 25 & 115 \\ 235 & 770 & 10 \end{array})$

Multiplikation af matricer

Multiplikation af matricer er allerede en lidt værre sag, fordi den ikke længere er intuitiv, sådan som man kunne forvente. Det er ikke nok bare at gange de tilsvarende led. Først og fremmest skal matricerne opfylde kriteriet, at antallet af søjler i den første matrix skal være lig med antallet af rækker i den anden matrix. Resten kan være vilkårligt. Nu kan vi definere produktet (n er antallet af søjler i den første matrix):

$(A \cdot B)_{i j} = \sum_{p = 1}^{n} a_{i p} \cdot b_{p j}$

Nu er du meget klogere, ikke? Nu prøver jeg også at forklare det for dem, der er lidt mindre kvikke :-). Du tager første række i den første matrix og første søjle i den anden matrix. Nu ganger du første element med første element, lægger produktet af andet element og andet element til og så videre. Derved får du i den nye matrix C elementet c₁₁. Allerbedst bliver et eksempel. Vi ganger disse to matricer:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Nu vælger vi første række i den første matrix og første søjle i den anden matrix:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

For overskuelighedens skyld kalder vi den nyopståede matrix C. Hvis vi vil have det første element i denne matrix, skal vi beregne dette: c₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁. Jeg gør opmærksom på, at indekset først angiver rækken og derefter søjlen. Efter indsættelse får vi: 1 · 5 + 2 · 7 = 19. Det første element har værdien 19:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & ? \\ ? & ? \end{array})$

Det næste element, c₁₂, får vi på samme måde, vi tager bare første række og anden søjle. Med denne langsommelige udregning får vi altid det element, som de har fælles. Første række og første søjle har et fælles element på koordinaterne c₁₁, første række og anden søjle har til gengæld c₁₂. Det viser følgende figur pænt:

Produkt af matricer

Nu ganger jeg bare hurtigt resten af matricen:

$\begin{array}{rcl} c_{12} & = & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22. \\ c_{21} & = & a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43. \\ c_{22} & = & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{array}$

Disse tal skriver vi nu bare ind i matricen:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{array})$

Rigtigheden af resultatet kan vi for eksempel kontrollere i Excel eller i OpenOffice Calc, som indeholder funktioner til at arbejde med matricer.

Nu et par generelle oplysninger om multiplikation af matricer. Først og fremmest er multiplikation af matricer ikke kommutativ. Generelt gælder det ikke, at A · B = B · A, selv om et sådant tilfælde selvfølgelig kan opstå. Men multiplikation af matricer er associativ. Med addition er den endda distributiv: A (B + C) = AB + AC. Hvis vi ganger to matricer a_ix · b_xn, så bliver den resulterende matrix af typen i × n (den får lige så mange rækker, som den første matrix har rækker, og lige så mange søjler, som den anden matrix har søjler).

Eksempler

Vi har givet disse tre matricer:

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}), C = (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) .$

Beregn produktet af matricerne A · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 36 & 41 & 43 \\ 90 & 98 & 106 \\ 144 & 155 & 169 \end{array})$

Beregn produktet af matricerne B · A.

Vær opmærksom på, at multiplikation af matricer ikke er kommutativ, så vi kan bestemt ikke med sikkerhed sige, at resultatet bliver det samme som i det foregående tilfælde. Vi må simpelthen beregne det hele forfra:

$(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 68 & 82 & 96 \\ 86 & 112 & 138 \\ 87 & 105 & 123 \end{array})$

Beregn produktet af matricerne A · C og C · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 28 & 14 \\ 67 & 50 \\ 106 & 86 \end{array})$

Det andet eksempel kan vi ikke beregne, fordi antallet af søjler i den første matrix er et andet end antallet af rækker i den anden matrix.

Elementære matrixoperationer

For at vi kan arbejde effektivt med matricer, må vi definere nogle elementære matrixoperationer. Først og fremmest kan vi gange en række/søjle i matricen med et tal, der er forskelligt fra nul. Multiplikationen virker på samme måde som et k-multiplum af matricen, men kun i den pågældende række/søjle.

Den anden operation er at lægge k gange den j-te række til den i-te række. Det samme for søjler. Det lyder lidt uhyggeligt, men det er i virkeligheden enkelt. Vi viser det for k = 1. Vi har denne matrix:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Nu lægger vi anden række til første række. Vi tager altså anden række og lægger tallene på tilsvarende pladser til tallene fra første række. Der sker ikke noget med tallene fra anden række, kun første række ændres:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Nu kan vi fortsætte med operationerne. Nu prøver vi at lægge det dobbelte af første række til tredje række. Vi tager første række af denne nyopståede matrix, ganger den med to, hvorved vi får rækken (10, 14, 18), og disse tal lægger vi til tredje række. Igen — første række ændres ikke, kun tredje række ændres:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 17 & 22 & 27 \end{array})$

Nu lægger vi igen til tredje række summen af første og anden række. I bund og grund er det ikke noget nyt, for når vi først lægger anden række til tredje række og derefter første række, må vi nå til det samme resultat. Summen af første og anden række bliver lig med: (5, 7, 9) + (4, 5, 6) = (9, 12, 15). Summen af denne række og tredje række bliver så lig med: (9, 12, 15) + (17, 22, 27) = (26, 34, 42).

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 26 & 34 & 42 \end{array})$

Og så endnu en søjleoperation (dem bruger man sædvanligvis ikke så ofte, fordi de ikke er så overskuelige). Vi lægger første søjle til anden søjle:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 4 & 9 & 6 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Og allersidst ganger vi anden række med to:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 8 & 18 & 12 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Lineær afhængighed

Nu forklarer vi desuden, hvad afhængige rækker/søjler er. En række er lineært afhængig, hvis denne række kan udtrykkes som en linearkombination af matricens andre rækker. Kort sagt: Hvis du kan lægge rækker sammen på forskellige måder, så du til sidst får den række, du leder efter, er denne række lineært afhængig. Eksempel:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array})$

Hvis du tager det dobbelte af første række og anden række, får du tredje række. Hvis du trækker denne kombination fra tredje række, får du en nulrække (en række, som kun indeholder nuller). Denne række er afhængig. Operationerne udfører vi altså sådan (vi ganger første række med to, lægger til anden række, trækker fra tredje række):

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Hvis vi har en matrix A, som har n rækker, og A_i betegner den i-te række, så siger vi, at matricen ikke indeholder en lineært afhængig række, hvis:

$α_{1} A_{1} + α_{2} A_{2} + \dots + α_{n} A_{n} = 0$

netop når α₁, α₂, …, α_n = 0. Nullet på højre side af ligningen repræsenterer nulrækken. Det vil sige, hvis den eneste løsning til denne ligning er nulløsningen. Hvis vi finder en anden løsning, så indeholder matricen en lineært afhængig række. På samme måde for en søjle. For den foregående matrix ville der gælde:

$\begin{array}{rcl} 2 (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}) + 1 (\begin{array}{c} 4 & 5 & 6 \end{array}) - 1 (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = \\ = (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Værdierne af alfa er altså α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1.

Antallet af uafhængige rækker eller søjler angiver matrixens rang.

Regulære og singulære matricer

En matrix kaldes regulær, hvis den har maksimal rang (dvs. hvis der ikke forekommer nogen lineært afhængig række i den), og hvis den er en kvadratisk matrix. En kvadratisk matrix kaldes singulær, hvis den ikke er regulær (dvs. hvis matricen indeholder mindst én lineært afhængig række). Disse to begreber er ret vigtige, eller rettere: En række definitioner bygger ofte på dem. Mange ting er kun defineret, hvis matricen er regulær.

Relaterede artikler

« Forrige: Gitre

Næste: Matrixens rang »