Vektorrum

Et vektorrum, som nogle gange også kaldes et lineært rum, er en mængde af elementer, som skal opfylde nogle egenskaber, der gør, at elementerne i mængden, som vi kalder vektorer, opfører sig »pænt«.

Eksempel på et vektorrum

Før vi definerer et vektorrum, viser vi et eksempel på et vektorrum, som du allerede burde kende fra gymnasiet, du ved bare ikke, at det er et vektorrum. Det er de klassiske vektorer i planen.

Med en vektor i planen mener vi et ordnet par (a, b), hvor a, b ∈ ℝ. Det er vilkårlige koordinater i rummet ℝ² (det betyder det kartesiske produkt ℝ × ℝ). En sådan vektor kan vi tegne som en pil fra punktet (0, 0) til punktet (a, b). Vektoren (2, 3) ville se sådan ud:

Vi ved, at vektorer kan lægges sammen efter reglen (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Summen af vektorerne (2, 3) + (4, 1) ville være lig med vektoren (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4). Grafisk ville vi tegne det sådan:

Samtidig kan vi beregne k gange en vektor, hvor k er et reelt tal. k gange en vektor skriver vi som k · (a, b). Resultatet er en ny vektor, som er defineret som k · (a, b) = (k · a, k · b). Grafisk viser det sig ved, at vektoren bliver »strakt«, »forkortet« eller skifter retning. Hvis vi har vektoren u = (2, 3), ser vektorerne 2 · u, $\frac{1}{2}u$ og −1 · u sådan ud:

At mængden af alle vektorer i ℝ² med de således definerede regneoperationer udgør et vektorrum, beviser vi senere. Først definerer vi et vektorrum og viser de enkelte egenskaber på dette vektorrum ℝ².

Definition af et vektorrum

Et vektorrum (også kaldet lineært rum) er en ikke-tom mængde V, hvis elementer vi kalder vektorer. Desuden skal der på mængden findes to operationer: addition af vektorer, dvs. afbildningen V × V ⟶ V, og multiplikation af en vektor med et reelt tal, dvs. afbildningen ℝ × V ⟶ V. (Mere generelt kan man i stedet for mængden af reelle tal bruge et hvilket som helst legeme, men det kommer i senere artikler.) Addition af vektorer skriver vi med tegnet +, multiplikation med ·. Disse to operationer skal opfylde følgende betingelser. Dvs. for alle x, y, z ∈ V og for alle a, b ∈ ℝ skal der gælde (læg mærke til, at vektorerne x, y, z er fede, mens tallene a, b er normale):

1. x + y = y + x: addition af vektorer er kommutativ. Hvis vi vender tilbage til eksemplet med vektorer i ℝ², er det ligegyldigt, om vi lægger vektorerne sammen sådan (2, 3) + (4, 1) eller omvendt: (4, 1) + (2, 3) .

• (x + y) + z = x + (y + z): addition af vektorer er associativ. Igen kan vi sætte nogle vektorer fra ℝ² ind og se, at det går op.
• a · (b · x) = (a · b) · x: den associative lov for multiplikation. For vores vektorer gælder, at 4 · (5 · (6, 7)) er det samme som (4 · 5) · (6, 7). Begge eksempler giver vektoren (20 · 6, 20 · 7).
• a · (x + y) = a · x + a · y: den distributive lov for vektorer fra V. Igen ser vi, at 2 · ((2, 3) + (4, 5)) er det samme som 2 · (2, 3) + 2 · (4, 5). Begge udtryk giver vektoren (2 · 6, 2 · 8).
• (a + b) · x = a · x + b · x: distributivitet over addition af tal.
• 1 · x = x: hvis vi ganger en vilkårlig vektor med det reelle tal 1, ændrer vektorens værdi sig ikke. I vores tilfælde gælder, at 1 · (5, 8) = (5, 8).
• Der findes et element 0 ∈ V så 0 · x = 0. Det fede nul, dvs. 0, er den såkaldte nulvektor, mens det ikke-fede nul 0 simpelthen er tallet nul. Dette punkt siger, at der i V skal findes en vektor, som vi får ved at gange en vilkårlig vektor x ∈ V med tallet nul. For vores rum ℝ² er det vektoren (0, 0), fordi der for alle vektorer (a, b) ∈ ℝ² gælder, at 0 · (a, b) = (0, 0).

Det er alle de egenskaber, som et vektorrum (lineært rum) V skal opfylde. Når vi ganger en vektor med et reelt tal a, kalder vi dette tal a en skalar. Vi taler derfor ofte om multiplikation med en skalar og mener et udtryk af formen a · x, hvor a er et reelt tal og x er en vektor.

Plustegnets dobbelte betydning

Pas på, at plustegnet + i nogle udtryk kan have to betydninger. For eksempel har vi i punktet om distributivitet over addition af tal ligningen (a + b) · x = a · x + b · x. Her lægger tegnet + på venstre side af ligningen reelle tal sammen, fordi både a og b er reelle tal, mens det på højre side lægger vektorer sammen, fordi resultatet af produktet a · x er en vektor.

Denne automatiske genkendelse bruges ofte i matematik — ud fra sammenhængen er det altid klart, hvilken addition der menes. Hvis vi har udtrykket x + y, og x, y er vektorer, bruger vi vektorsum. Hvis x, y var tal, ville vi bruge den klassiske sum. Hvis det var matricer, ville vi bruge matrixsum osv.

Vi kunne bruge et andet tegn til addition af vektorer, for eksempel ⊕. Så kunne vi skrive distributivitet over addition af tal sådan: (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. Det almindelige + betegner her addition af de reelle tal a, b, tegnet ⊕ betegner addition af vektorer. Som regel bruger man dog det samme tegn + til begge former for addition, og betydningen kan man se af sammenhængen. Det samme gælder for tegnet ·.

Vektorrummet R²

I den første del definerede vi vektorrummet V = ℝ², og nu beviser vi, at det virkelig er et vektorrum. Først skal vi kontrollere, om vi har defineret operationerne addition og multiplikation korrekt. Additionen skal lægge to vektorer sammen, og resultatet skal være en ny vektor. Det er opfyldt, fordi (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Når vi lægger to vektorer fra ℝ² sammen, opstår der en ny vektor fra ℝ².

Hvis vi for eksempel definerede addition af vektorer som summen af deres længder, ville det ikke være en gyldig additionsoperation i et vektorrum. Længden af vektoren (a, b) ville vi beregne som $\sqrt{a^2+b^2}$. Resultatet af summen (3, 4) + (5, 12) ville så være tallet $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$, som ikke er en vektor i rummet ℝ².

Dernæst skal vi kontrollere, om vi har defineret multiplikationen korrekt. Multiplikationen ganger et reelt tal med en vektor fra ℝ², og resultatet skal være en ny vektor fra ℝ². Det er igen opfyldt, fordi vi har defineret multiplikation med en skalar som k · (a, b) = (k · a, k · b).

Efter tur kontrollerer vi alle 7 egenskaber, som et vektorrum skal opfylde. For de enkelte vektorer x, y sætter vi vores vektorer (a, b), (c, d), … ind, alt efter hvad der passer, det skal du ikke blive skræmt af.

1. x + y = y + x, kommutativitet af addition af vektorer. Er den addition af vektorer, vi har defineret, kommutativ? Ja, det er den, fordi den er defineret som (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Hvis vi bytter om på vektorerne på venstre side, får vi: (c, d) + (a, b) = (c + a, d + b). Fordi c + a er en sum af to reelle tal, og addition af reelle tal er en kommutativ operation, gælder c + a = a + c, og det samme for det andet par: d + b = b + d. Der gælder altså (a + c, b + d) = (c + a, d + b).

• (x + y) + z = x + (y + z). Det bliver en leg med parenteser. Det drejer sig i bund og grund om simple omskrivninger, de bliver bare uoverskuelige, fordi der simpelthen er så mange parenteser. Vi prøver at beregne denne sum af vektorer:

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f)$$

Fordi a, c, e er reelle tal, og addition er associativ for reelle tal, gælder (a + c) + e = a + c + e. Det samme for den anden koordinat. Vi kan altså skrive, at

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c+e,b+d+f)$$

Nu prøver vi at lægge de samme vektorer sammen med parenteserne sat på en anden måde:

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a,b)+(c+e,d+f)=(a+(c+e),b+(d+f))$$

Igen gælder a + (c + e) = a + c + e, så vi kan skrive, at

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a+c+e,b+d+f)$$

Vi ser altså, at uanset hvordan vi sætter parenteser i en sum af tre vektorer, kommer vi altid frem til den samme vektor (a + c + e, b + d + f). Additionen i ℝ² er altså associativ og opfylder også den anden egenskab ved vektorrum.

Du kan prøve at sætte konkrete tal ind for variablene a, …, f, og du vil se, at det passer.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Igen skriver vi først venstre side af ligningen ud, og for x sætter vi vektoren (c, d) ind:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=a\cdot (b\cdot c,b\cdot d)=(a\cdot (b\cdot c),a\cdot (b\cdot d))$$

Fordi multiplikation af reelle tal er associativ, får vi ligheden a · (b · c) = a · b · c. Vi kan altså skrive:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Nu skriver vi højre side af ligningen ud, dvs. siden (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=((a\cdot b)\cdot c,(a\cdot b)\cdot d)$$

Igen gælder (a · b) · c = a · b · c, så:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Vi ser, at begge sider af ligningen giver den samme resulterende vektor (a · b · c, a · b · d), så ligningen gælder.

• a · (x + y) = a · x + a · y. Fremgangsmåden er den samme, vi skriver venstre side af ligningen ud:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=a\cdot \left((c+e,d+f)\right)=(a\cdot (c+e),a\cdot (d+f))$$

Fordi a, c, e er reelle tal, hvor den distributive lov gælder, får vi ligheden: a · (c + e) = ac + ae. Vi kan altså skrive:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=(ac+ae,ad+af)$$

Højre side af ligningen:

$$a\cdot (c,d)+a\cdot (e,f)=(ac,ad)+(ae,af)=(ac+ae,ad+af)$$

Vi ser, at venstre og højre side af ligningen er lig med hinanden efter omskrivningerne.

• (a + b) · x = a · x + b · x: Vi går frem meget ligesom i det foregående trin. Omskrivning af venstre side af ligningen:

$$(a+b)\cdot (c,d)=((a+b)\cdot c,(a+b)\cdot d)=(ac+bc,ad+bd)$$

Højre side:

$$a\cdot (c,d)+b\cdot (c,d)=(ac,ad)+(bc,bd)=(ac+bc,ad+bd)$$

• 1 · x = x: Jeg tror ikke, at nogen overhovedet har orket at læse helt hertil, men lad gå, vi fortsætter :-). Dette punkt er i det mindste enkelt. Vi skal kontrollere, at 1 · (a, b) = (a, b). Det gælder helt sikkert, fordi

$$1\cdot (a,b)=(1\cdot a,1\cdot b)=(a,b)$$

• Der findes et element 0 ∈ ℝ² så 0 · x = 0: det er vektoren (0, 0). For den gælder, at 0 · (a, b) = (0, 0), fordi

$$0\cdot (a,b)=(0\cdot a,0\cdot b)=(0,0)$$

Størrelsen af vektorrum

Hvad er det mindste vektorrum? Af definitionen ved vi, at et vektorrum er en ikke-tom mængde V, så den mindst mulige størrelse, vi kan overveje, er en mængde med én vektor. Af det syvende punkt i definitionen ved vi, at rummet skal indeholde nulvektoren. Mængden V = {0} er derfor en kandidat til det mindste vektorrum.

Addition kan vi definere som 0 + 0 = 0 og multiplikation som a · 0 = 0. Uanset hvad vi gør, får vi altid nulvektoren. Denne mængde med ét element vil åbenbart have alle de syv krævede egenskaber.

Vi ved nu, at der findes et vektorrum med ét element. Findes der et vektorrum, som har to elementer? Kan vi for mængden V = {x, 0} definere operationerne addition og multiplikation, så der opstår et vektorrum?

Svaret er nej, der findes ikke noget vektorrum med to elementer. Og der findes heller ikke noget andet endeligt vektorrum end det nævnte med ét element. Alle andre vektorrum er allerede uendelige. Hvis vi derimod, som antydet, i stedet for mængden af reelle tal brugte et andet, endeligt legeme, kunne vi få et andet endeligt vektorrum.

Opsummering

Definitionen af vektorrum er ikke helt enkel, vektorer og operationer skal opfylde i alt 7 betingelser, og det er ikke så få. På den anden side er betingelserne ret trivielle og forståelige — de sigter mod, at man kan arbejde godt med vektorer. Takket være de definerede betingelser kan vi lægge vektorer fra et vektorrum sammen uden at skulle kontrollere, om resultatet af additionen mon bliver en vektor fra et andet vektorrum. På samme måde kan vi gange en vektor med et reelt tal og får altid en vektor fra det samme rum. At vektorerne og deres operationer overholder den kommutative, associative og distributive lov er også ret naturligt.

Et vektorrum kunne vi også definere mere generelt. I stedet for mængden af reelle tal kan vi tage et hvilket som helst legeme. Men det kommer i senere artikler.