Relation

En relation er den matematiske pendant til det almindelige begreb »forhold«. I det almindelige liv er Emma for eksempel i et forhold til Ida, nærmere bestemt forholdet »mor — datter«. Et andet sådant forhold kan være »land — dette lands hovedstad«. Som eksempel kan vi tage Egypten — Kairo.

Flere eksempler på relationer

Lad os tage flere eksempler til hjælp. I indledningen nævnte vi relationerne (forholdene) »at være mor til sin datter« og »at være et lands hovedstad«. Lad os se på en til: »at være et lige tal«. I denne relation indgår tallene 2, 4, 8, 18, 58, 66 og mange andre. Tallene 1, 3, −7, 19 er ikke i relationen »at være et lige tal«. En relation fra den virkelige verden kan være »at være en mand«. Adam, Mikkel, Lukas eller Martin er i relationen »at være en mand«.

Et andet eksempel kan være relationen »mindre end«. For eksempel er tallet tre »mindre end« tallet fem. Matematisk kan vi skrive det som 3<5. Eller relationen lighed: tallet tre »er lig med« tallet tre, matematisk: 3 = 3.

Vi kan også have mere komplicerede eksempler: »far og mor er forældre til et barn«. I denne relation indgår en tripel af personer: far Daniel, mor Marie og barnet Freja. I matematik kunne vi finde på en relation med tre elementer på denne måde: summen af de to første tal er lig med det tredje tal. For eksempel er disse tal, i denne rækkefølge, i relationen: 3, 4, 7, fordi 3 + 4 = 7. Disse tal er ikke i relationen: 3, 5, 12, fordi 3 + 5 ≠ 12.

Relationens aritet

Aritet er et mærkeligt klingende ord, der blot angiver, hvor mange elementer vi har i relationen. I de foregående eksempler arbejdede vi med forskelligt antal elementer. Ved relationen »at være en mand« klarede vi os med ét element, så vi kan sige: »Hans er en mand«. Vi behøver ét navn, ét element. En sådan relation kalder vi unær.

I det næste eksempel havde vi relationen »mindre end«. Den arbejdede med to tal, med to elementer. Vi sagde, at tallet tre er mindre end fem. Vi brugte to elementer, så relationen er binær.

I det sidste eksempel brugte vi i alt tre elementer: summen af to tal skulle være lig med det tredje. Vi havde altså tallene a, b, c, og der skulle gælde, at a + b = c. Denne relation ville være ternær.

For højere aritet kan vi bruge betegnelsen n-ær relation. Men vi kan også bruge den for lavere aritet, vi kan skrive en binær relation som en 2-ær relation. Relationens elementer skriver vi så som ordnede n-tupler. Hvis vi har en binær relation, skriver vi dem som par, sædvanligvis enten med runde parenteser eller med kantede parenteser. Så hvis vi vil skrive, at tallene tre og fem er i relationen »mindre end«, skal vi skrive tallene som et par: (3, 5) eller eventuelt [3; 5]. Bemærk, at vi skal passe på rækkefølgen, omvendt ville det ikke gælde: (3, 5) ≠ (5, 3) — fem er ikke mindre end tre.

Et familieeksempel

Før vi går i gang med de matematiske definitioner, prøver vi endnu et typisk eksempel med en familie. Lad os have disse medlemmer af en familie:

• Max: farfar;
• Jens: far;
• Dorthe: mor;
• Sandra: datter;
• Oscar: søn.

Først finder vi alle familiemedlemmer, der svarer til relationen: »at være en mand«. Det er en 1-ær, altså unær, relation. I relationen vil der derfor altid kun være ét element, ét familiemedlem. Nu skal vi skrive alle de familiemedlemmer op, som er af hankøn. Nu er rækkefølgen ligegyldig. Relationen »at være en mand« indeholder derfor disse elementer: {[Max], [Jens], [Oscar]}. Læg mærke til, at selv om det er en unær relation, har vi brugt kantede parenteser. Det er ikke nødvendigt, notationen kunne læses uden dem, men for konsekvensens skyld har jeg beholdt parenteserne. Samlingen af alle relationens elementer er så en almindelig mængde, derfor de krøllede parenteser.

Nu finder vi alle relationer »far — søn«. Det er allerede ved første øjekast en binær relation, i resultatet vil der optræde ordnede par af elementer. Den resulterende mængde ser sådan ud: {(Jens, Oscar), (Max, Jens)}. Far Jens er far til sønnen Oscar, og farfar Max er far til far Jens. Læg mærke til, at rækkefølgen virkelig betyder noget: Jens er der to gange, men første gang på første plads i rollen som far og anden gang på anden plads i rollen som søn.

Vi prøver endnu en relation: »forælder — barn«. Her bliver der flere, fordi hvem som helst af forældrene, både far og mor, kan stå på første plads, og hvem som helst af børnene, både søn og datter, kan stå på anden plads. Vi skal også tage i betragtning, at farfar Maximilian er forælder til Jens, men ikke forælder til Dorthe. Jens og Dorthe er til gengæld begge forældre til Sandra og Oscar. Sandra og Oscar er ikke forældre til nogen, fordi de kun er nitten og tretten år gamle. Resultatet bliver disse ordnede par: {(Max, Jens), (Jens, Sandra), (Jens, Oscar), (Dorthe, Sandra), (Dorthe, Oscar)}. Læg mærke til, at både Jens og Dorthe er der to gange — én gang som forældre til datteren Sandra og én gang som forældre til Oscar.

Et sidste krydderi til de binære relationer. Lad os have denne relation: »søskende — søskende«. Her skal vi være klar over, at rækkefølgen betyder noget i relationer, så hvis vi i resultatet af denne relation kun skrev »Sandra — Oscar«, ville det være forkert, fordi det er et helt andet ordnet par end »Oscar — Sandra«. Derfor er det rigtige resultat: {(Sandra, Oscar), (Oscar, Sandra)}.

Og så et helt kort eksempel på en ternær relation: Skriv alle de ordnede tripler i denne relation: »farfar — far — barn«. I opgaven har vi kun én farfar og én far, men to efterkommere. Det er ikke nok at skrive kun varianten med Sandra eller med Oscar, vi skal skrive dem begge. Det ville være noget andet, hvis der til sidst i stedet for »barn« stod »søn«. Det rigtige resultat er: {(Max, Jens, Sandra), (Max, Jens, Oscar)}.

Definition af unær relation

Vi prøver at undersøge de enkleste relationer, de unære. Ved en unær relation forstår vi en mængde af elementer. Mængden {2, 3} kan repræsentere en relation. For eksempel relationen »at være et primtal mindre end fem« eller »at være en ikke-triviel divisor i tallet seks«, afhængigt af vores fortolkning.

Skarpere læsere har lagt mærke til, at den anden relation er defineret lidt mærkeligt. Den siger, at relationen skal indeholde de ikke-trivielle divisorer i tallet seks, og i den resulterende mængde har vi tallene 2 og 3. Mangler der ikke nogle? Tallene 1 og 6 er trivielle divisorer, dem er vi ikke interesseret i. Men der burde også være negative tal, altså −2 og −3. Mængden af alle ikke-trivielle divisorer i tallet 6 ser sådan ud: {−3, −2, 2, 3}.

Ligesom vi for funktioner angiver definitionsmængden, angiver vi for en relation den underliggende mængde — den mængde, som vi udvælger relationens elementer fra. I de foregående eksempler angav vi for eksempel en familie, hvor der var farfar Max osv. Vi udvalgte ikke fædre og børn fra alle familier i verden. Hvis vi som underliggende mængde angiver mængden af de naturlige tal, så er vores relation i orden.

Nu kan vi gå i gang med definitionen af relation. Hvis vi har de naturlige tal som underliggende mængde, hvilke elementer kan vores unære relation så indeholde? Igen kun naturlige tal. Enten alle eller kun en del af dem. Vi kan altså sige, at den givne relation er en delmængde af mængden af de naturlige tal. Mere generelt gælder, at hvis vi har en unær relation R og en underliggende mængde M, så er R ⊆ M, relationen R er en delmængde af mængden M.

Definition af binær relation

Hvordan bliver det for en binær relation? I en binær relation er elementerne i relationen R ordnede par. Hvert element i et par kan komme fra en anden mængde. Vi kan have en relation »forælder — antal børn«. Forælderen udvælges fra mængden af mennesker, for eksempel i Europa, og antallet af børn udvælges fra mængden af de naturlige tal plus nul.

Hvordan får vi ud fra to mængder mængden af alle mulige par? Ved hjælp af et mængdeprodukt. Hvis vi har mængderne A = {a, b, c}, B = {1, 2}, får vi med mængdeproduktet:

$$A\times B=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)\}$$

Det er mængden af alle mulige par, som vi kan få på den måde, at der på første plads står et element fra mængden A og på anden plads et element fra mængden B. Hvis vi altså har en binær relation R mellem mængderne A og B, kan vi definere denne relation som R ⊆ A × B.

Hvis vi beholdt de foregående mængder A og B og definerede en relation R mellem disse mængder således: »bogstav — bogstavets nummer i alfabetet«, så ville denne relation se sådan ud: R = {(a, 1), (b, 2)}. Bogstavet c ville ikke være der, fordi parret (c, 3) ikke forekommer i mængdeproduktet A × B.

Definition af n-ær relation

Til sidst definerer vi den generelle n-ære relation R mellem mængderne M₁, M₂, …, M_n:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times \dots \times M_n$$

En relation er således en delmængde af ordnede n-tupler. Et eksempel på en binær relation kan være relationen »mindre end«, altså <. Den kan vi definere mellem nogle talmængder, for eksempel mellem de naturlige tal. Så vil relationen se sådan ud:

$$<\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{N}$$

(Bliv ikke forskrækket over, at tegnet < står så mærkeligt på venstre side. Det er bare relationens navn. Der kunne igen stå R, hvor R ville repræsentere relationen mindre end.)

Helt konkret ville relationen se sådan ud:

$$\begin{array}{rcl}<=& & (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\dots \\ & & (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\dots \\ & & (3,4),(3,5),(3,6),(3,7),\dots \\ & & (4,5),(4,6),(4,7),(4,8),\dots \\ & & \dots \\ & & \end{array}$$

Det er mængden af ordnede par, hvor det naturlige tal på første plads er mindre end det naturlige tal på anden plads.

Notation for relationer

Relationer navngiver vi sædvanligvis med store bogstaver R, S osv. eller med indarbejdede symboler: <, ⊆, = osv. Af de foregående definitioner kan man se, at en relation i virkeligheden er en mængde. Næsten alt i matematik er jo i virkeligheden en mængde :-). Hvis vi vil sige, at elementet r tilhører relationen R, kan vi derfor skrive det som r ∈ R.

For eksempel kan vi skrive (1, 3) ∈ <, og det betyder, at parret af tallene en og tre tilhører relationen mindre end. Ved binære relationer møder vi ofte en mere behagelig notation, som du allerede kender fra folkeskolen. I stedet for at bruge elementsymbolet ∈ skriver vi blot 1 < 3. På samme måde skriver vi normalt ikke (5, 5) ∈ =, men vi skriver 5 = 5.