✖

Algebraiske legemer

Du behøver ingen særlige matematiske færdigheder eller forudsætninger for at forstå den følgende forklaring. Det er nok, at du kan det helt grundlæggende i gymnasiematematikken og har lyst til at lære noget nyt.

Et skræmmende navn: algebraisk legeme

Hvis selve navnet algebraisk legeme skræmmer dig, så skal du vide, at der virkelig ikke er noget at være bange for. Et sådant legeme er i virkeligheden en meget enkel ting, når man ser på det fra den rigtige vinkel.

Et algebraisk legeme er en vilkårlig mængde plus to binære operationer, som opfylder bestemte betingelser. Det er det hele. Ikke mere og ikke mindre. Som du kan se, er der ikke noget farligt eller skræmmende ved det. Og når vi nu ved det, kan vi roligt kigge lidt nærmere på det.

Legemets elementer

Vi kalder vores vilkårlige mængde T, og dens elementer kalder vi legemets elementer. Tro mig, mængden af legemets elementer kan være helt vilkårlig. Det kan være mængden af alle lige tal, mængden af alle de sokker, hvor du mangler den anden i parret, eller for eksempel din samling af bamse-elefanter. Den eneste betingelse er nok, at mængden T ikke må være tom. Ellers ville vi ikke have meget at more os med.

Binær operation

Hvis det ikke straks er klart, hvad en binær operation egentlig er, kan du forestille dig den som en lille kværn. Du putter to elementer fra en mængde i den (deraf ordet binær), drejer let på håndsvinget, og så falder der endnu et element fra din mængde ud. En fin binær operation er for eksempel division. Vil du vide, hvad 10 / 5 er? Tag den binære operation division (kværnen), hvor din mængde er mængden af de reelle tal. Hæld først ti og så fem i kværnen, drej på håndsvinget, og se: ud falder to.

Vi giver vores to operationer navnene addition og multiplikation og skriver dem ⊕ og ⊗. Lad dig ikke forvirre af navnene. De har ikke nødvendigvis meget tilfælles med den addition og multiplikation, som vi bruger til daglig. Det er netop fordi legemets elementer kan være hvilke som helst objekter. Og »vores« addition og multiplikation kan netop ikke bruges på bamse-elefanter eller sokker.

Operationer på et legeme

Operationerne ⊕ og ⊗ skal opfylde bestemte betingelser. Vi kan ikke indføre dem helt vilkårligt. Meningen med at indføre disse operationer er nemlig at generalisere den almindelige addition og multiplikation, som vi bruger på tal. Vi vil have, at operationerne kan indføres på en sådan måde, at vi kan bruge dem på legemets elementer, som, som vi allerede ved, kan være helt vilkårlige objekter, altså ikke kun tal. Alligevel vil vi gerne have, at operationerne ⊕ og ⊗ bevarer en slags grundlæggende betydning af addition og multiplikation. Det sikrer vi ved at indføre ti betingelser, som operationerne skal opfylde, for at vores struktur er et legeme. Disse betingelser kalder vi legemsaksiomerne. Her er de:

  1. Kommutativitet af addition — For to vilkårlige elementer a, b i legemet T skal der gælde a ⊕ b = b ⊕ a.
  • Associativitet af addition — For tre vilkårlige elementer a, b, c i legemet T skal der gælde (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
  • Eksistens af nulelement — Der skal findes et element i legemet T, som vi kalder 0 (pas på, det må ikke forveksles med tallet 0), og som har den egenskab, at der for ethvert element a i legemet T gælder a ⊕ 0 = a.
  • Eksistens af modsat element — Til ethvert element a i legemet T skal der findes et element i legemet T, som vi kalder -a, og som har den egenskab, at a ⊕ −a = 0.
  • Kommutativitet af multiplikation — For to vilkårlige elementer a, b i legemet T skal der gælde a ⊗ b = b ⊗ a.
  • Associativitet af multiplikation — For tre vilkårlige elementer a, b, c i legemet T skal der gælde (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
  • Eksistens af enhedselement - Der skal findes et element i legemet T, som vi kalder 1 (pas på, det må ikke forveksles med tallet 1), og som har den egenskab, at der for ethvert element a i legemet T gælder a ⊗ 1 = a.
  • Eksistens af inverst element — Til ethvert element a i legemet T, som er forskelligt fra 0, skal der findes et element i legemet T, som vi kalder a−1, og som har den egenskab, at a ⊗ a−1 = 1.
  • Distributivitet - For tre vilkårlige elementer a, b, c i legemet T skal der gælde a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
  • Ikke-trivialitet — Nulelementet og enhedselementet må ikke være det samme element. Altså 0 ≠ 1

Til dig, der vil øve dig i matematisk formalisme, har jeg her skrevet legemsaksiomerne, sådan som de skrives i matematikernes fagsprog.

  1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
  • ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
  • ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
  • ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
  • ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
  • ∀a ∈ T   ∃a−1 ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a−1 = 1
  • ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
  • 0 ≠ 1

Nu tænker du måske, at der er frygtelig mange aksiomer. Men de er alle lette at forstå, når man ser, hvad de betyder. De første fire beskriver de sædvanlige egenskaber ved addition, og de næste fire de sædvanlige egenskaber ved multiplikation, som desuden minder meget om de første fire. Det niende aksiom siger, hvordan addition og multiplikation hænger sammen. Kun det tiende er en mere teknisk sag, der sikrer, at legemet ikke kan have nogle underlige egenskaber.

Læg mærke til, hvor fint vi har undgået at indføre subtraktion og division. De er indført ved hjælp af addition af det modsatte element og multiplikation med det inverse element. For eksempel er 4 − 2 blot en forkortelse for 4 + (−2), og 4 / 2 er blot en forkortelse for 4 · 2−1.

Et overblik over legemer

Nu har vi formelt indført begrebet algebraisk legeme. Hvis vi skal udtrykke intuitivt, hvad et legeme egentlig er, kan vi sige, at det er en slags struktur, som gør det muligt at lægge sammen, trække fra, gange og dividere vilkårlige objekter, som vi kan definere disse operationer på, og det på en måde, der minder om den, vi udfører disse operationer på i elementær aritmetik.

Vores første legeme

Nu hvor vi så fint har fundet på og beskrevet legemer, lad os konstruere et egentligt legeme. Først vælger vi mængden af legemets elementer. Vi eksperimenterer ikke for meget med bamse-elefanter eller sokker endnu og vælger de naturlige tal som legemets elementer. For at det hele kan blive rigtig enkelt, tager vi kun tallene 0, 1, 2, 3, 4. Vores mængde T ser altså sådan ud:

T={0,1,2,3,4}

Nu mangler vi bare at definere operationerne ⊕ og ⊗ på en smart måde. Her får vi hjælp af addition og multiplikation, som vi allerede kender fra aritmetikken. Vi ændrer dem bare lidt, så de virker på vores legeme.

  • Operationen ⊕ Summen af to elementer a ⊕ b finder vi ved at beregne resten ved division med fem af summen a + b . Addition i vores legeme ser altså sådan ud: 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1 osv.
  • Operationen ⊗ Produktet af to elementer a ⊗ b finder vi ved at beregne resten ved division med fem af produktet ab . Multiplikation i vores legeme ser altså sådan ud: 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    osv.

Så er det klaret. Nu har vi fremstillet et fuldgyldigt legeme. Vi mangler bare at kontrollere, at alle aksiomerne gælder, så vi kan være sikre på, at vi virkelig har fremstillet et legeme og ikke noget makværk.

  • Kommutativiteten og associativiteten af addition og multiplikation kan du sikkert selv kontrollere, og det samme gælder distributiviteten.
  • Af den måde, vi har defineret addition og multiplikation på, følger det også, at der findes et nulelement (i vores tilfælde er det tilfældigvis netop tallet 0) og et enhedselement (i vores tilfælde 1), som er forskellige fra hinanden.
  • Nu mangler vi så kun at kontrollere, at der findes et modsat og et inverst element. Vi kan alle sammen se, at der til hvert tal i mængden {0, 1, 2, 3, 4} findes et tal i samme mængde, så resultatet af deres sum er nul eller fem (altså 0 i vores legeme).
  • På samme måde gælder det for multiplikation: til hvert tal i denne mængde, der ikke er nul, findes et tal, som giver produktet rest 1 ved division med fem (altså 1 i vores legeme). For eksempel har tallet 4 det inverse element 4, fordi 4 · 4 = 16, og efter division med 5 får vi rest 1. Prøv at finde de andre inverse elementer!

Eksempler på flere legemer

Lige før har vi fremstillet et legeme med fem elementer. Det viser sig, at man på samme måde kan fremstille andre legemer, hvor antallet af elementer er et primtal. Sådanne legemer kaldes restklasselegemer og skrives Zp, hvor p er antallet af legemets elementer, og de bruges meget ofte både i matematik og datalogi og selvfølgelig også i forskellige skriftlige opgaver.

Kan man også fremstille legemer med et andet antal elementer end et primtal? Ja, men så kan det ikke gøres på den måde, som jeg lige har vist. Hvorfor? Forestil dig et legeme fremstillet efter den ovenfor beskrevne fremgangsmåde, som kun har fire elementer. I et sådant legeme gælder 2 ⊗ 2 = 0. Altså er produktet af to tal, der ikke er nul, nul. Det må ikke ske i et legeme. Det er ikke direkte forbudt i legemsaksiomerne, men det kan ret let udledes af dem. Det viser sig dog, at hvis man bruger polynomier i stedet for tal som legemets elementer, kan man fremstille legemer, hvor antallet af elementer er en potens af et primtal. Altså findes der et legeme med fire elementer, fordi fire er en potens af to.

Selvfølgelig findes der også legemer med uendeligt mange elementer. For eksempel udgør mængden af de reelle tal sammen med vores sædvanlige addition og multiplikation også et legeme. Det gælder selvfølgelig ikke kun for de reelle tal, men også for de rationale og de komplekse. De naturlige og de hele tal udgør ikke et legeme, fordi de mangler modsatte hhv. inverse elementer.

Og det bedste til sidst. Ingen foreskriver selvfølgelig, at legemer skal bestå af tal, polynomier eller overhovedet nogen matematiske objekter. Som jeg har sagt, kan du fremstille et legeme af sokker, bamse-elefanter osv. Det eneste problem bliver nok at definere addition og multiplikation på elefanter. Det interessante her er, at det aldrig kan lykkes dig at fremstille et legeme, der indeholder seks sokker. For seks er hverken et primtal eller en potens af et primtal. Men du kan sagtens fremstille et legeme med sytten sokker, nummerere dem alle (den hvide sok bliver 0, den sorte 1, den grønne 2 osv.) og så lægge dem sammen på samme måde, som vi lagde sammen i restklasselegemet.

Og hvad skal det hele bruges til?

Hvis du har læst helt hertil, tænker du måske: hvad i alverden skal vi med sådan en vanvittig struktur som et algebraisk legeme? Jo, legemer er meget vigtige, både teoretisk, fordi de beskriver og frem for alt generaliserer det, man kunne kalde at regne, altså aritmetik, og praktisk, fordi mange matematiske eller datalogiske problemer bliver lettere at løse, hvis vi forestiller os dem som regning i legemer. Endelige legemer har for eksempel stor betydning for koderne på cd- og dvd-skiver. Hvad angår selve lineær algebra, er legemer i øvrigt fundamentet for andre, mere komplicerede og dermed også langt mere nyttige og interessante strukturer, som for eksempel vektorrum. De udgør nemlig et slags grundlag for hele lineær algebra.

Forfatteren til denne artikel er Lishaak.