Fortynding og blanding af opløsninger

En opløsning opstår, når vi for eksempel opløser ethanol i vand. Vi får en ensartet blanding, der består af et opløst stof (ethanol) og et opløsningsmiddel (vand). Når vi taler om en opløsning, mener vi som regel en opløsning i flydende form, men generelt kan vi også have en opløsning af to faste stoffer, for eksempel legeringen bronze.

Koncentration af en opløsning

Koncentrationen fortæller os, hvor meget opløst stof der er i opløsningen. Der er flere måder at angive koncentrationen på:

• Masseprocent: hvor mange gram opløst stof der er i 100 g opløsning.
• Volumenprocent: hvor mange milliliter opløst stof der er i 100 ml opløsning.
• Andel: hvor mange procent opløst stof der er i opløsningen. Vi kan for eksempel have en 40 %-opløsning, og det betyder, at der er 40 ml stof på 100 ml opløsning.

Hvilken koncentration har en opløsning af vand og ethanol, hvis vi har 500 ml af opløsningen, og 150 ml af den er ethanol? For at få volumenprocenten skal vi vide, hvor mange ml der er i 100 ml. Men vi ved, hvor mange ml der er i en halv liter. Vi kan bruge enhedsmetoden. Først beregner vi, hvor meget ethanol der er i 1 ml opløsning, og det gør vi ved at dividere mængden af ethanol med 500:

$$\frac{150\text{ml}}{500}=0,3\text{ml}$$

Når vi kender mængden af ethanol i 1 ml, finder vi mængden i 100 ml ved at gange den med 100:

$$0,3\text{ml}\cdot 100=30\text{ml}$$

Opløsningen har altså koncentrationen 30 ml ethanol på 100 ml. Det er dermed en 30 %-opløsning.

Blandingsligningen

Med blandingsligningen kan vi beregne koncentrationen af den opløsning, vi får ved at blande to forskellige opløsninger. Forestil dig, at vi har to opløsninger:

1. 500 ml opløsning, som indeholder 30 % ethanol,
2. 400 ml opløsning, som indeholder 20 % ethanol.

Hvilken koncentration får vi, når vi blander de to opløsninger? Lad V₁ = 500 være volumenet af den første opløsning, V₂ = 400 volumenet af den anden opløsning og V = V₁ + V₂ volumenet af den resulterende opløsning.

Dernæst skal vi bruge den såkaldte volumenandel, som blot er koncentrationen i procent omskrevet til en brøk. Den første opløsning med koncentrationen 30 % har altså volumenandelen $c_1=\frac{30}{100}$, og den anden opløsning med koncentrationen 20 % har volumenandelen $c_2=\frac{20}{100}$. (Hvis vi regnede med gram i stedet for liter, ville vi have masseandele, men princippet ville være det samme.) Lad den resulterende opløsning have volumenandelen c. Nu kan vi opstille blandingsligningen:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot V$$

I denne ligning er den eneste ubekendte den resulterende koncentration c. Alle værdierne på venstre side af lighedstegnet kender vi fra opgaveteksten, og det resulterende volumen V kender vi også, det er blot summen af volumenerne V₁ og V₂:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

Vi indsætter konkrete værdier for alle variablerne:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{20}{100}\cdot 400=c\cdot (500+400)$$

På venstre side beregner vi nu produkterne af brøkerne, og på højre side lægger vi blot volumenerne sammen:

$$150+80=c\cdot 900$$

Nu dividerer vi hele ligningen med 900, så der kun står den endelige koncentration c på højre side:

$$\frac{150+80}{900}=c$$

Vi lægger tælleren sammen og bytter blot om på venstre og højre side af blandingsligningen (typisk vil vi have den ubekendte til venstre):

$$c=\frac{230}{900}$$

Det er vores resulterende volumenandel. Hvis vi vil have den som forhold, beregner vi 230 divideret med 900:

$$\frac{230}{900}=\mathrm{0,255}555\dots$$

Vi får den udtrykt i procent ved at gange forholdet med 100, og det giver cirka 25,6 %. Den resulterende opløsning får koncentrationen cirka 25,6 %, altså omkring 25,6 ml ethanol på 100 ml.

Hvad skal vi fortynde med for at få den ønskede opløsning?

Vi kan også have brug for at besvare et lidt andet spørgsmål. Lad os igen have 500 ml opløsning, som indeholder 30 % ethanol, og en anden opløsning, som indeholder 55 % ethanol. Hvor mange ml af den anden opløsning skal vi blande med den første for at få en 40 %-opløsning? Vi bruger igen blandingsligningen

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

Den eneste ubekendte er V₂, alt andet kender vi. I forhold til det forrige tilfælde kender vi nemlig $c=\frac{40}{100}$, fordi vi ved, hvilken opløsning vi vil blande. Vi indsætter de kendte værdier i blandingsligningen:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{55}{100}\cdot V_2=\frac{40}{100}(500+V_2)$$

Vi ganger hele ligningen med 100:

$$30\cdot 500+55\cdot V_2=40\cdot (500+V_2)$$

Vi beregner produktet på venstre side og ganger ind i parentesen på højre side:

$$15.000+55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2$$

Vi trækker 15.000 fra på begge sider af ligningen:

$$55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2-15.000$$

Vi trækker 40 · V₂ fra på begge sider af ligningen:

$$55\cdot V_2-40\cdot V_2=40\cdot 500-15.000$$

Vi lægger sammen og trækker fra, hvor vi kan:

$$15\cdot V_2=20.000-15.000$$

Vi beregner højre side:

$$15\cdot V_2=5000$$

Vi dividerer begge sider af ligningen med 15:

$$V_2=\frac{5000}{15}=\mathrm{333,333}\dots$$

Vi skal altså hælde cirka 333 ml (en tredjedel liter) af den anden 55 %-opløsning til for at få en opløsning med koncentrationen 40 %. Vi kan kontrollere, om vi har regnet rigtigt. Den første opløsning på 500 ml indeholdt 30 % ethanol, hvilket betyder, at den indeholdt 150 ml ethanol. Hvis vi hælder 333 ml af den anden 55 %-opløsning til, indeholder den 183 ml ethanol. Til sidst har vi altså fået en opløsning med volumenet 500 ml + 333 ml, altså 833 ml, som indeholder 150 ml + 183 ml, altså 333 ml ethanol. Når vi beregner forholdet

$$\frac{333}{833}\approx 0,4$$

Vi fik (efter afrunding) en 40 %-opløsning af ethanol og vand.