Findes der flere lige eller ulige tal?

Hvad tror du, der er flest af? Lige tal eller ulige tal? Eller er der lige mange? Hvordan kunne vi afgøre det? Og hvad med andre tal? Findes der flere lige tal eller naturlige tal? Naturlige tal eller rationale tal? Det er ikke helt enkelt, for der er uendeligt mange af alle de nævnte tal. Alligevel kan vi sammenligne dem og finde ud af, hvilke tal der er flest af, og hvilke der er færrest af.

Lad os vise det på en lille mængde af tal. Forestil dig to mængder af tal: de blå tal og de røde tal:

Kan vi på nogen måde sige, hvilke tal der er flest af? Røde eller blå? Vi ser tydeligt, at … Hvad? At du er farveblind og ikke ser det tydeligt? Okay, så fra nu af viser vi desuden de røde tal som firkanter:

Godt, nu kan vi tydeligt se, at der er flere blå tal end røde. Det var enkelt, fordi vi arbejder med endelige mængder af tal, så vi kan tælle dem. Vi ser, at vi har seks blå tal og kun tre røde. Uendelige mængder bliver ikke så enkle, for dem kan vi ikke tælle. Så lad os besvare spørgsmålet fra overskriften: er der flere lige eller ulige tal? Lad os for nemheds skyld blive ved de positive tal. Forestil dig en sæk fuld af alle de ulige tal og en sæk fuld af alle de lige tal. Hvilken sæk er størst?

Nå, det er ikke ligefrem let at forestille sig et uendeligt antal tal, og at tælle dem er endnu sværere. Findes der ikke en anden måde, vi kan sammenligne mængders størrelse på?

Sammenligning af to endelige mængder

Forestil dig, at vi har en sæk fuld af brudgomme og en sæk fuld af brude. Hvis vi har en brud til hver brudgom og en brudgom til hver brud, kan vi sige, at vi har lige mange brudgomme og brude:

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Kan du se det? Hver brud i første række har sin egen mand fra anden række og omvendt — hver mand har sin egen kone. Men der kunne også opstå et andet tilfælde: hver brud ville have sin mand, men ikke hver mand ville have en brud:

👰 👰 👰 👰 👰 ❌

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Hver kone har en mand, men én mand bliver tilbage som pebersvend uden kone. I det øjeblik, hvor der er én mand til overs, kan vi sige, at vi har flere mænd end koner. På samme måde, hvis der er én brud til overs

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌

så kan vi sige, at vi har flere brude end mænd.

Sammenligning af to uendelige mængder

Kan vi bruge denne fremgangsmåde, når vi sammenligner to uendelige mængder? Kan vi parre hvert ulige tal med et lige tal og hvert lige tal med et ulige tal, uden at bruge nogen af tallene mere end én gang? Det kan vi! Hvert ulige tal n kan vi parre med det lige tal n + 1. Altså parrer vi tallet 5 med tallet 5 + 1, tallet 149 med tallet 150 osv. Følgende animation viser parringen:

For hvert ulige rødt tal har vi et tilsvarende entydigt blåt lige tal, og for hvert lige blåt tal har vi et tilsvarende entydigt rødt ulige tal. Vi har kunnet parre alle de ulige tal med alle de lige tal. Det betyder, at der er lige mange lige og ulige tal!

Nå, det var ikke helt overraskende, vel? Lad os sammenligne andre mængder af tal: alle de naturlige tal versus de lige tal. Her bliver resultatet mere chokerende.

Er der flere naturlige tal eller lige tal?

Hvilke tal er der flest af? Naturlige eller lige?

Vi kan tydeligvis se, at de naturlige tal samtidig indeholder alle de lige tal. Og derudover indeholder de naturlige tal nogle ekstra tal — de ulige tal. Det er altså klart, at der må være flere naturlige tal — de indeholder jo dobbelt så mange tal!

Ja, bare livet var så enkelt!

Vi er jo ikke interesserede i, om den ene mængde af tal indeholder nogle ekstra tal. Vi er interesserede i, om vi kan parre tallene fra to forskellige mængder på en eller anden måde. Kan vi parre hvert lige tal med hvert naturligt tal? Selv om der er flere naturlige tal? Jo, det kan vi.

Hvert naturligt tal p kan vi simpelthen parre med det lige tal 2 · p og omvendt — hvert lige tal n kan vi parre med det naturlige tal n / 2. Så det naturlige tal 5 parrer vi med det lige tal 10, og det lige tal 14 parrer vi med det naturlige tal 7 osv. Følgende animation viser parringen for de første par tal:

Pludselig har vi for hvert naturligt tal et entydigt lige tal og for hvert lige tal et entydigt naturligt tal! Hvad gør det, at der er flere naturlige tal? Der er uendeligt mange af begge slags tal, og vi løber aldrig tør for dem. Set fra vores synspunkt er mængden af lige tal altså lige så stor som mængden af naturlige tal! 😱

Det er lidt kontraintuitivt, men sådan er det.

Er der flere naturlige tal eller rationale tal?

Rationale tal er brøker. Alle tal, der kan skrives på formen p/q, hvor p og q er hele tal og q ≠ 0, er rationale tal. For eksempel er ½, ¾ eller 8 rationale tal, men π er ikke et rationalt tal. Der er langt flere rationale tal end naturlige tal. Mellem tallene 2 og 4 findes der for eksempel kun ét helt tal, nemlig tallet 3, men uendeligt mange rationale tal. Der er faktisk også uendeligt mange rationale tal mellem tallene 0,001 og 0,002. Så mange rationale tal er der!

Man ville altså forvente, at mængden af rationale tal må være større end mængden af naturlige tal. Men samtidig fornemmer vi vel alle sammen, at der er en hage ved det. Okay, lad os prøve at parre de rationale tal med de naturlige tal. Vi begynder med at skrive de rationale tal op i sådan en tabel:

Mønstret burde være klart: alle brøker i første række har tallet 1 i tælleren (over brøkstregen) og i nævneren efterhånden voksende tal 1, 2, 3 osv. I søjlen er det så omvendt. Hvis vi fortsatte i det uendelige, ville vi have alle eksisterende brøker i denne tabel. For eksempel findes brøken 1478/517 i række 1478 og søjle 517. Lad os nu prøve at lave vores parringsfunktion. Vi kunne lave den sådan her:

• Det naturlige tal 1 parrer vi med den første brøk i første række, altså med 1/1
• Det naturlige tal 2 parrer vi med den anden brøk i første række, altså med 1/2
• Det naturlige tal 3 parrer vi med den tredje brøk i første række, altså med 1/3
• Det naturlige tal 4 parrer vi med den fjerde brøk i første række, altså med 1/4
• …

Har vi på denne måde kunnet parre alle de naturlige tal? Ja, faktisk. Hvert naturligt tal har sin modpart. Det naturlige tal 174 har brøken 1/174 som modpart. Men gælder det også omvendt? Har hver brøk sin modpart blandt de naturlige tal? Hvilken modpart har brøken 2/3? Ingen, for med vores parringsfunktion nåede vi aldrig til anden række. Vi har kun kunnet parre den første række af brøker.

Betyder det, at der er flere rationale tal end naturlige? Desværre ikke — at en parringsstrategi ikke virker, betyder ikke, at en anden ikke vil virke. Lad os denne gang gå efter diagonalerne:

• Det naturlige tal 1 parrer vi med brøken 1/1 (første diagonal),
• det naturlige tal 2 parrer vi med brøken 1/2 (anden diagonal),
• det naturlige tal 3 parrer vi med brøken 2/1 (anden diagonal),
• det naturlige tal 4 parrer vi med brøken 1/3 (tredje diagonal),
• det naturlige tal 5 parrer vi med brøken 2/2 (tredje diagonal),
• det naturlige tal 6 parrer vi med brøken 3/1 (tredje diagonal),
• osv.

Du kan se parringsstrategien på animationen:

På den måde kan vi dække alle brøker. Ingen diagonal er uendelig, så vi ender ikke i nogen diagonal »for evigt«. Til sidst vil hver brøk have fået tildelt et naturligt tal, og selvfølgelig vil hvert naturligt tal have fået tildelt en entydig brøk.

Nå … Faktisk ikke helt. Når vi igen ser på vores tabel med brøker, finder vi ud af, at mange tal gentages. Brøkerne 1/1, 2/2, 3/3 osv. repræsenterer for eksempel det samme tal — tallet 1. Ligeledes repræsenterer brøkerne 1/2, 2/4 og 3/6 en halv. I virkeligheden afbilder vi altså de naturlige tal 1, 5, 13 osv. på det samme rationale tal 1! Vi har flere brudgomme, der gifter sig med den samme brud. Det kan ikke gå!

Heldigvis kan vi nemt rette det. Vi streger simpelthen alle de brøker ud af vores tabel, der ikke er uforkortelige, altså vi streger alle de brøker ud, som kan forkortes. Efter denne udstregning bliver der kun entydige rationale tal tilbage i tabellen, og vores kneb med diagonalerne vil virke. Hvert naturligt tal bliver parret med et entydigt rationalt tal og omvendt.

Det betyder, at mængden af naturlige tal er lige så stor som mængden af rationale tal!

Indtil videre ser det ud til, at alle uendelige mængder er lige store. Findes der en uendelig mængde, der er større end mængden af naturlige tal?

Er der flere naturlige tal eller reelle tal?

Nu kommer vores sidste redning ind i billedet: de reelle tal. Andre tal har vi ikke længere på tallinjen. Hvordan ser de reelle tal ud? De reelle tal indeholder alle de rationale tal og derudover alle de irrationale. Hvis vi skriver et tal i decimalfremstilling, gælder det, at et rationalt tal:

• enten har en endelig decimalfremstilling, for eksempel 0,4841554,
• eller har en uendelig periodisk decimalfremstilling: 0,1313131313…

Irrationale tal har omvendt altid en uendelig decimalfremstilling, som samtidig ikke er periodisk. Et irrationalt tal er for eksempel tallet π, som er lig med 3,141592653… (ingen periode). Lad os straks sige på forhånd, at der er langt flere reelle tal end rationale tal og dermed end naturlige tal. Mængden af reelle tal er større end mængden af naturlige tal. Og hvordan beviser vi det?

Forestil dig, at vi har fundet en parringsstrategi, der parrer alle de naturlige tal med alle de reelle tal. Lad os sige, at det er denne:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
…

Lad os antage, at vi til venstre har alle de naturlige tal og til højre alle de reelle. Hvis det var sandt, kunne vi ikke finde noget reelt tal, der manglede på højre side. Fordi vi allerede har spoilet, at mængden af reelle tal er større, betyder det, at der mangler et tal på højre side. Jamen, hvilket? Vi ser for eksempel, at tallet 0,4818063607183678 mangler. Men hvad hvis det gemmer sig netop under tallet 8?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
…

Og hvad med tallet 0,4208424736008147? Det kan vi heller ikke se. Men hvad hvis det gemmer sig netop under tallet ni?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

Sådan går det ikke. For vi kan selvfølgelig ikke skrive alle par op, for der er uendeligt mange, og vi kan ikke bare gætte på, om netop dette tal tilfældigvis er der eller ej. Vi skulle finde et tal, der er forskelligt fra alle tallene til højre i tabellen, selv om vi ikke ved, hvilke tal der alle står til højre. Hvordan kan vi gøre det?

For at to tal er forskellige, er det nok, at de er forskellige i ét ciffer. Tallene 0,123456 og 0,123457 er for eksempel ikke ens — men de er kun forskellige i ét ciffer. Det er nok for os. I vores tabel kan vi derfor altid fremhæve det n'te ciffer efter decimalkommaet i det n'te reelle tal:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

og det nye tal sammensætter vi, så det i det n'te ciffer efter decimalkommaet er forskelligt fra det n'te ciffer i det n'te reelle tal. Det nye tal konstruerer vi altså ved at begynde med nul: 0,??? og det første ciffer efter decimalkommaet vælger vi, så det er forskelligt fra det første ciffer i det første reelle tal, altså så det er forskelligt fra tre. Vi skriver for eksempel 0,1???. Det andet ciffer skal være forskelligt fra det andet ciffer i det andet reelle tal, altså skal det være forskelligt fra 9. Vi skriver for eksempel to: 0,12???. Osv. De første ni cifre kunne altså se sådan ud: 0,123123127 (se sidste række i tabellen):

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
? → 0,123123127

Vi ser, at dette tal er forskelligt fra alle tallene, for det er altid forskelligt fra alle tallene i mindst ét ciffer. Selv om vores tabel indeholder et uendeligt antal tal, er vores nye tal dannet af uendeligt mange cifre på en sådan måde, at det er forskelligt fra alle tallene i tabellen i mindst ét ciffer. Og læg mærke til, at vi kan konstruere uendeligt mange tal, der ikke står i tabellen! Hvad følger af det? Vi kan ikke parre de naturlige tal med de reelle tal. Der vil altid være uendeligt mange reelle tal tilbage, som ikke bliver parret med nogen naturlige tal. Der er langt flere reelle tal end naturlige tal.

Bemærkninger til sidst

• I hele artiklen har vi for enkelhedens skyld ignoreret de negative tal. De ændrer selvfølgelig intet ved sagen, og som lektie kan du tilpasse de parringsstrategier, der er nævnt her, så de også virker med negative tal.
• Størrelsen af mængden af de naturlige tal har endda sit eget navn. Vi kalder den alef-nul.
• I matematik bruger vi så ofte begrebet kardinalitet eller mægtighed af en mængde i stedet for »størrelse af en mængde«.