Ableitung einer Funktion

Die Ableitung ist ein Grundbegriff der Differentialrechnung, sie spielt zum Beispiel bei der Kurvendiskussion eine wichtige Rolle und wird von Schülern einerseits gehasst, andererseits kann die Ableitung auch ein entsprechend trainierter Affe berechnen. In diesem Artikel werden nur die Definition der Ableitung und verwandte Begriffe beschrieben und erklärt. Gelöste Beispiele findest du in den benachbarten Artikeln: einfache Beispiele zu Ableitungen und schwierigere Beispiele. Der umgekehrte Vorgang zum Ableiten ist die Integration.

Was ist die Ableitung

Bevor wir zur Definition der Ableitung kommen, sagen wir, was wir mit der Ableitung überhaupt berechnen und wozu uns das anschließend nützen kann.

Mit der Ableitung einer Funktion erhalten wir die Steigung der Tangente. Das sind wohl ziemlich viele schlimme Wörter auf einmal, also von Anfang an. Einfach gesagt ist die Tangente eine Gerade, die den gegebenen Graphen in genau einem Punkt berührt. Eine exakte Definition ist das nicht, die kannst du zum Beispiel bei Wikipedia nachlesen, aber ungefähr genügt es. Sieh dir nun die folgende Abbildung an:

Die schwarze Kurve ist der Graph der Funktion y = x². Die blaue Gerade ist die Tangente an diese Funktion im Punkt D(1 ∣ 1), der rot markiert ist. Grün ist der Winkel α eingezeichnet, den die Tangente mit der x-Achse einschließt – genauer mit der positiven x-Achse. Nun definieren wir den Begriff Tangentensteigung. Die Tangentensteigung ist in dieser Abbildung der Tangens des Winkels Alpha. Der Tangens ist eine klassische Winkelfunktion, mit der wir zum Beispiel Winkel und Seitenlängen im Dreieck berechnen können. Die Tangentensteigung ist also der Tangens des Winkels, den die gegebene Tangente mit der positiven x-Achse einschließt. Und diese Steigung erhalten wir eben mithilfe der Ableitungen.

Weiter unterscheiden wir die Begriffe Ableitung einer Funktion an einer Stelle und Ableitung einer Funktion. Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle ist eben die Tangentensteigung an der gegebenen Stelle. Die Ableitung einer Funktion ist dann eine andere Funktion, die die Steigungen für ein allgemeines Argument x angibt. Ein Beispiel folgt.

Motivation

Mithilfe der Ableitung können wir also Tangentensteigungen berechnen. Wozu kann das nützlich sein? Sieh dir die folgende Abbildung an:

In der Abbildung ist wieder die Funktion y = x² mit vier eingezeichneten Tangenten zu sehen. Zwei grüne und zwei blaue. Beachte, dass die Funktion y = x² auf dem Intervall ]−∞; 0[ streng monoton fallend ist, auf dem Intervall ]0; ∞[ dagegen streng monoton steigend. Was gilt aber gleichzeitig für ihre Tangenten, genauer für den Winkel, den sie mit der positiven Halbachse einschließen? Die blauen Tangenten, also die Tangenten, die durch Punkte des Intervalls gehen, in dem die Funktion steigt, schließen mit der Achse einen Winkel kleiner als 90° ein. Die grünen Tangenten dagegen schließen mit der Achse einen Winkel ein, der größer als 90° ist. Wie wirkt sich das auf die Tangentensteigungen aus?

Dazu müssen wir das Verhalten der Tangensfunktion kennen. Aus dem folgenden Graphen erfahren wir, dass der Tangens positiv ist, wenn der Winkel kleiner als 90° ist (blau hervorgehobener Teil); ist der Winkel dagegen größer als 90°, aber kleiner als 180° (d. h. kleiner als Pi Radiant), dann ist der Tangens negativ. Welchen Schluss können wir also ziehen? Ist die Steigung (vergiss nicht, dass die Steigung eben der Tangens des Winkels ist) der Tangente an der gegebenen Stelle positiv, dann ist die Funktion an dieser Stelle steigend, ist sie negativ, dann ist sie fallend.

Definition

Bevor wir zur eigentlichen Definition der Ableitung kommen, müssen wir einen langen Weg zurücklegen. Dazu brauchen wir den Grenzwert einer Funktion. Beherrschst du Grenzwerte nicht, geh zu ihnen zurück oder spring nur zu den Formeln, die weitere Erklärung ist wohl nichts für dich.

Bevor wir zur Steigung der Tangente selbst kommen, bleiben wir zunächst bei der Steigung der Sekante stehen, das ist einfacher. Eine Sekante ist eine Gerade, die den Graphen in zwei Punkten schneidet. Jetzt versuchen wir herzuleiten, wie wir diese Steigung berechnen würden. Sieh dir die Abbildung an:

Dort haben wir den Graphen der Funktion x² + 1 und die Sekante s, die den Graphen in den zwei Punkten (0,5 ∣ 1,25) und (2 ∣ 5) schneidet. Diese Punkte sind blau hervorgehoben. Weil uns die konkreten Werte nicht besonders interessieren, sind im Graphen diese Werte allgemein als a und b sowie f(a) und f(b) eingezeichnet. Dabei ist f(a) der Wert der Funktion f an der Stelle x = a. Es gilt also: Der Wert unserer Funktion x² + 1 an der Stelle x = 2 ist 2² + 1 = 5.

Nun geht es darum, herzuleiten, wie wir den mit Alpha bezeichneten Winkel berechnen, d. h. den Winkel, den die Sekante mit der x-Achse einschließt. Die Abbildung ändern wir zunächst etwas, damit wir darin ein Dreieck erhalten, damit lässt es sich besser arbeiten.

Was haben wir getan? Wir haben die Punkte, in denen die Sekante den Graphen der Funktion y = x² + 1 schneidet, mit einer Strecke verbunden und zu einem rechtwinkligen Dreieck ABC ergänzt. Wobei hat uns das geholfen? Der mit β bezeichnete Winkel hat nämlich dieselbe Größe wie der Winkel α (es sind Stufenwinkel). Dabei kennen wir aber die Längen der Seiten AB und BC. Es gilt |AB| = b − a (das ist schlicht der Abstand des Punktes b von a). Ebenso gilt für die Länge |BC| = f(b) − f(a). Wie berechnen wir nun die Größe des Winkels β bzw. α?

Wir müssen wissen, wie man den Tangens berechnet. Der Tangens ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete, also ist der Tangens des Winkels Alpha (Beta) gleich dem Verhältnis der Länge der Seite BC zur Länge der Seite AB. Wir schreiben es auf:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Weil die Steigung der Tangens des Winkels ist, haben wir mit dieser Formel die Steigung der Sekante berechnet. Wie hilft uns das aber, wenn wir die Steigung der Tangente berechnen wollen? Stell dir vor, dass wir die Punkte A und C so lange einander annähern, bis sie zusammenfallen. Die Annäherung zeigt die Abbildung:

Je mehr wir den oberen Schnittpunkt dem unteren Schnittpunkt annähern, desto näher kommt die Sekante dem Zustand, eine Tangente zu werden. Die ursprüngliche Sekante/Gerade CA war von einer Tangente weit entfernt. Wenn wir den Punkt C dem Punkt A annähern, erhalten wir z. B. die Sekante C₁A, die einer Tangente schon ähnlicher ist. Die Sekante C₂A ist ihr noch ähnlicher usw.

Wann wird die Sekante zur Tangente? In dem Moment, in dem beide Schnittpunkte zu einem zusammenfallen, d. h. wenn für irgendeinen Punkt C_n gelten würde, dass C_n = A. In diesem Moment haben wir aus der Sekante eine Tangente gemacht, was wir wollten. Die Frage ist, wie wir die Steigung berechnen, denn wir können diese beiden Punkte nicht einfach voneinander abziehen, weil sie gleich sind:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

Das funktioniert nicht, so können wir das nicht berechnen. Nicht umsonst haben wir die gegebenen Punkte nur einander angenähert. Wir brauchen nämlich einen Grenzwert. Wir wollen jetzt die Steigung der Tangente im gegebenen Punkt (a ∣ f(a)) berechnen und haben die Steigungen aller möglichen Sekanten zur Verfügung (die können wir schon berechnen). Wir berechnen also nach und nach die Steigungen von Sekanten, die wir so annähern, dass eine Tangente entsteht. Wir nähern also b an a an. Wir können die Punkte nicht so annähern, dass sie gleich sind, aber wir können sie so annähern, dass sich ihre Differenz im Grenzwert null nähert. Siehe da, ein Grenzwert. Wir nähern also b an a an, bis sie im Grenzwert gleich sind. Wir berechnen also den Grenzwert für b gegen a. Das ist alles, die Formel sieht so aus:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Diesen Grenzwert nennen wir die Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle x = a. Ich erinnere daran, dass der Winkel α gleich dem Winkel β ist. Üblicherweise verwenden wir die Variablen a und b nicht, sondern suchen die Ableitung an der Stelle x₀ und nähern uns ihr mit dem Punkt x. Wir können dann schreiben:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Bisher haben wir, ähnlich wie bei der Stetigkeit von Funktionen, die Ableitung an einer einzelnen Stelle definiert. Haben wir eine Funktion f(x), die auf einem offenen Intervall I differenzierbar ist, dann definieren die Werte dieser Ableitung eine Funktion f′(x), die wir Ableitung der Funktion nennen.

Die Ableitung schreiben wir mit einem Strich im oberen Index, etwa so:

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

Du kannst auch einer anderen Schreibweise mit dx begegnen:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

In der Formel, die wir vorhin verwendet haben, können wir also den Tangens durch die Schreibweise der Ableitung ersetzen:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Mithilfe einseitiger Grenzwerte können wir auch die einseitige Ableitung von rechts oder von links definieren. Damit beschäftigen wir uns jetzt nicht, es ist nicht so wichtig.

Eine etwas andere Definition

Eine andere Definition der Ableitung einer Funktion an einer Stelle sieht so aus:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Wie kommen wir zu einer solchen Definition? Es genügt, die Abbildung, von der wir ausgegangen sind, ein wenig abzuändern. Wir können nämlich den Abstand des Punktes a vom Punkt b als h = b − a ausdrücken. Damit können wir den Punkt b als a + h schreiben, weil h eben der Abstand von b zu a ist. Die Abbildung würde so aussehen:

Unten haben wir die Punkte a und a + h, auf der y-Achse dann f(a) und f(a + h). Nun erzeugen wir wieder ein Dreieck und berechnen den Tangens des Winkels Beta. Nur mit dem Unterschied, dass wir die Länge der Seite AB schon berechnet haben, es ist eben h.

Eigentliche und uneigentliche Ableitung

Auch bei Ableitungen unterscheiden wir eigentliche und uneigentliche, ähnlich wie bei Grenzwerten von Funktionen. Was bedeutet das? Die Ableitung ist eigentlich, wenn der Wert der Ableitung an der Stelle gleich einer reellen Zahl ist. Die Ableitung ist uneigentlich, wenn sie gleich plus oder minus unendlich ist. Wie kann man sich das geometrisch vorstellen? Wann ist die Steigung „unendlich“? Wir beginnen mit der leichteren Frage – wie sieht eine Tangente aus, deren Steigung gleich einer großen Zahl ist? Aus dem Graphen des Tangens (siehe oben) ist ersichtlich, dass sich der Winkel 90° nähert, wenn der Wert des Tangens hoch ist (wenn wir uns im Intervall ]0; 180[ bewegen).

Daraus könnte man schließen, dass die Tangente mit der x-Achse einen rechten Winkel einschließt, wenn die Funktion an der gegebenen Stelle eine uneigentliche Ableitung hat, also senkrecht auf ihr steht. Und genau so ist es. Wie könnte der Graph einer solchen Funktion aussehen und an welcher Stelle wäre die Tangente senkrecht zur x-Achse? Zum Beispiel die Funktion $y=\sqrt[3]{x}$:

Grundlegende Eigenschaften

• Damit eine Funktion an einer Stelle eine Ableitung hat, muss sie in einer Epsilon-Umgebung dieser Stelle definiert sein. Gäbe es diese Umgebung nicht, könnten wir die Grenzwerte, über die die Ableitung definiert ist, nicht berechnen.

• Aus der Eindeutigkeit der Existenz (oder Nichtexistenz) von Grenzwerten folgt, dass die Ableitung, wenn sie an einer Stelle existiert, eindeutig ist. Keine Funktion hat an einer Stelle mehrere Ableitungen. Entweder eine oder keine.

• Ähnlich wie bei einseitigen Grenzwerten gilt: Hat die Funktion an einer Stelle eine Ableitung, dann müssen die Ableitung von links und von rechts gleich sein.

• Manchmal müssen wir die sogenannte zweite Ableitung kennen. Das ist nichts Kompliziertes, wir leiten die Funktion einfach einmal ab und leiten dann das Ergebnis noch ein zweites Mal ab. Wir bezeichnen sie mit zwei Strichen: f''(x) = (f'(x))'.

• Eine wichtige Eigenschaft: Hat die Funktion an einer Stelle eine Ableitung, dann ist die Funktion an dieser Stelle stetig. Das folgt wieder aus den Eigenschaften von Grenzwerten. Achtung, die Umkehrung gilt nicht. Ist die Funktion an einer gegebenen Stelle stetig, bedeutet das nicht, dass sie dort differenzierbar ist. Ein typisches Beispiel ist die Funktion f(x) = |x|. Der Graph hat eine Spitze, die Steigung der Tangente in dieser Spitze lässt sich nicht berechnen. Du kannst versuchen, die Ableitung von links und von rechts zu berechnen, sie werden verschieden sein.

  

• Mithilfe von Ableitungen lassen sich auch manche Grenzwerte berechnen, dazu dient die Regel von L’Hospital.

Weiterführendes

Im Nebenartikel findest du eine Liste von Formeln für den Umgang mit Ableitungen. Weitere findest du bei Wikipedia.

Du kannst dir auch die gelösten Beispiele zu Ableitungen ansehen und dann gegebenenfalls die schwierigeren Beispiele zu Ableitungen.

Brauchst du eine schnelle Kontrolle einer Ableitungsberechnung, kannst du ein mathematisches Werkzeug verwenden, zum Beispiel Wolfram|Alpha. Du musst nur in das dortige Eingabefeld „derive x^2+6x“ (zum Beispiel) schreiben, und Wolfram berechnet dir die Ableitungen der eingegebenen Funktion.