Grenzwert einer Funktion

Der Grenzwert einer Funktion ist einer der wichtigsten Begriffe der Analysis. Er beschreibt das Verhalten einer Funktion in der Umgebung einer bestimmten Stelle, wodurch wir zum Beispiel die Stetigkeit einer Funktion definieren können. Der Grenzwert hilft uns, das Verhalten einer Funktion auch an Stellen zu verstehen, an denen sie überhaupt nicht definiert ist.

Umgebung eines Punktes

Wir beginnen mit der Definition der Epsilon-Umgebung eines Punktes in der Menge der reellen Zahlen. Es sei r ∈ ℝ. Dann nennen wir für ϵ > 0 das offene Intervall ]r − ϵ; r + ϵ[ die Epsilon-Umgebung dieses Punktes. Die punktierte Epsilon-Umgebung ist dieselbe, enthält aber den Punkt r nicht. Die punktierte Umgebung ist ]r − ϵ; r[ ∪ ]r; r + ϵ[. Die Epsilon-Umgebung des Punktes a bezeichnen wir mit U(a, ϵ), die punktierte Umgebung mit R(a, ϵ).

Als Beispiel nehmen wir die Zahl fünf und ihre 2-Umgebung. Wir berechnen also U(5, 2), das ist das Intervall ]5 − 2; 5 + 2[ = ]3; 7[. Die punktierte Umgebung wäre R(5, 2) = ]3; 5[ ∪ ]5; 7[. Dieselbe Umgebung, nur ohne den Punkt fünf. Grafisch dargestellt sieht die 2-Umgebung des Punktes 5 so aus:

Die punktierte 2-Umgebung sähe genauso aus, nur wäre der blaue Punkt 5 nicht enthalten.

Häufungspunkt

Als Nächstes brauchen wir die Definition des Häufungspunktes einer Menge. Ein Element a ∈ ℝ ist ein Häufungspunkt der Menge M ⊆ ℝ, wenn in jeder seiner punktierten Umgebungen, wie klein sie auch ist, ein Punkt der Menge M liegt. Genauer:

$$\mathrm{\forall }ϵ>0:R(a,ϵ)\cap M\ne \mathrm{\varnothing }$$

Beispiele: Jede reelle Zahl ist ein Häufungspunkt der Menge der reellen Zahlen. Wählen wir die Zahl 10, so finden wir in jeder punktierten Umgebung dieses Punktes immer eine reelle Zahl. Für $ϵ=\frac{1}{100}$ erhalten wir die punktierte Umgebung ]9,99; 10[ ∪ ]10; 10,01[. In beiden Intervallen liegt eine reelle Zahl – genauer gesagt liegen dort unendlich viele reelle Zahlen. Wie klein wir ϵ auch wählen, wir erhalten immer Intervalle, die unendlich viele reelle Zahlen enthalten.

Wählten wir für M die Menge der natürlichen Zahlen, fänden wir keinen Häufungspunkt. Zum Beispiel ist die Zahl $\frac{1}{2}$ kein Häufungspunkt, denn für $ϵ=\frac{1}{10}$ erhalten wir die Intervalle ]0,4; 0,5[ ∪ ]0,5; 0,6[, wobei keines der Intervalle eine natürliche Zahl enthält.

Motivation zu Grenzwerten

Wir beginnen mit der einfachsten Definition – dem eigentlichen Grenzwert an einer eigentlichen Stelle. Zuerst zeigen wir, was wir eigentlich berechnen wollen. Sieh dir den folgenden Graphen der Signumfunktion an:

Nehmen wir die Stelle x₁ = 3, so ist der Funktionswert an dieser Stelle 1. Es gilt sgn(3) = 1. Dabei gilt auch, dass die Funktion für alle „nahen“ Nachbarpunkte den Funktionswert 1 hat, zum Beispiel sgn(2,5) = 1 oder sgn(3,5) = 1. Wenn wir uns der Stelle x₁ = 3 von links oder von rechts nähern, sind die Funktionswerte immer gleich eins.

Nehmen wir aber die Stelle x₂ = 0, so gilt sgn(0) = 0, obwohl alle benachbarten Punkte einen anderen Funktionswert haben! Zum Beispiel $\text{sgn}(-\frac{1}{2})=-1$ oder $\text{sgn}(\frac{1}{2})=1$. Die Funktionswerte von rechts nähern sich dem Wert 1, während sich die Funktionswerte von links dem Wert −1 nähern. Und an der Stelle x₂ = 0 erhalten wir schließlich den Funktionswert 0. Überraschung! Diese Werte, denen sich die Funktion an der jeweiligen Stelle nähert, nennt man dann Grenzwerte der Funktion an der Stelle.

Definition des eigentlichen Grenzwerts an einer eigentlichen Stelle

Es sei f eine Funktion und x₀ ∈ ℝ ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs der Funktion f. Dann nennen wir L ∈ ℝ den Grenzwert der Funktion f an der Stelle x₀, wenn

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Und nun zur Bedeutung dieser Definition. Eigentliche Stelle bedeutet in diesem Fall, dass die Stelle eine reelle Zahl ist. Später sprechen wir über Grenzwerte an uneigentlichen Stellen, das bedeutet im Unendlichen. Wir versuchen, diesen Grenzwert zu berechnen:

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=?.$$

Bei so einfachen Funktionen gilt, dass der Grenzwert der Funktion an der Stelle x₀ gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist: f(x₀). Später definieren wir genau, was eine „einfache Funktion“ bedeutet. Jetzt zeichnen wir alles in ein Bild ein:

Die schwarze Gerade stellt den Graphen der Funktion $f(x)=\frac{x}{3}$ dar, der rote Punkt x₀ ist die Stelle, an der wir den Grenzwert suchen, und der grüne Punkt L stellt den resultierenden Grenzwert dar. Beachte, dass wir den Grenzwert auf der y-Achse darstellen.

Wir gehen nach der Definition weiter vor. An erster Stelle der Definition steht (∀ϵ > 0) und später wird ϵ in |f(x) − L|<ϵ verwendet – das ist die mathematische Schreibweise dafür, dass alle f(x) von L weniger als ϵ entfernt sein sollen. Wir suchen also die ϵ-Umgebung des Punktes L auf der y-Achse. Nach der Definition können wir ein beliebiges ϵ > 0 wählen, wir wählen zum Beispiel $ϵ=\frac{3}{10}$. Wir suchen auf der y-Achse die Punkte, die vom Punkt L genau ϵ entfernt sind:

Alle Punkte auf der y-Achse, die zwischen diesen grünen Linien liegen, befinden sich in der ϵ-Umgebung des Punktes L. Das sind die Punkte, von denen die Definition spricht.

Die Definition geht mit dem Ausdruck (∃δ>0) weiter, der später im Ausdruck 0<|x − x₀|<δ verwendet wird. Wir sagen, dass eine Differenz x − x₀ kleiner als δ sein soll. Da x, x₀ auf der x-Achse liegen, stellen wir auch den Wert δ auf der x-Achse dar. Der Ausdruck 0<|x − x₀|<δ sagt uns wiederum, dass wir alle x nehmen sollen, die von x₀ weniger als δ entfernt sind, aber zugleich mehr als null, d. h. x ≠ x₀. Das bedeutet, dass diese Schreibweise die punktierte δ-Umgebung des Punktes x₀ bezeichnet. Die Definition des Grenzwerts können wir daher äquivalent mithilfe von Umgebungen von Punkten umschreiben:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x\in R(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(L,ϵ))$$

Wir kehren zur vorherigen Definition zurück und zeichnen das Bild weiter: Um es darzustellen, brauchen wir den nächsten Teil der Definition:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Für alle x aus der punktierten δ-Umgebung des Punktes x₀ muss also … eine Bedingung gelten. Wir fügen dem Bild die punktierte δ-Umgebung des Punktes x₀ hinzu, zum Beispiel für $\delta =\frac{3}{2}$:

Alle x, die zwischen den roten gestrichelten Linien liegen, gehören zur δ-Umgebung von x₀, außer dem Punkt x₀ selbst. Wir sehen uns die vorherige Bedingung noch einmal an:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Für alle x aus der punktierten δ-Umgebung des Punktes x₀ muss gelten, dass alle Funktionswerte f(x) in der ϵ-Umgebung des Punktes L liegen. Wir nehmen also alle x aus der punktierten δ-Umgebung des Punktes x₀ und berechnen die Funktionswerte. Diese Funktionswerte sind im folgenden Bild als blaue Strecke dargestellt:

Der Punkt x₀ liegt nicht in der punktierten Umgebung, deshalb ist an dieser Stelle der kleine Kreis. Die Definition sagt uns, dass für alle diese blauen Punkte gelten muss, dass sie in der ϵ-Umgebung des Punktes L liegen. In den Farben des Bildes gesagt: Alle blauen Punkte müssen zwischen den grünen Linien liegen, die die ϵ-Umgebung darstellen. Stimmt das?

Natürlich nicht, zum Beispiel erhalten wir für $x=\frac{16}{10}$ offensichtlich einen blauen Punkt, der nicht zwischen den grünen Linien liegt, d. h. nicht in der ϵ-Umgebung des Punktes L.

Das macht aber nichts, denn die Definition sagt uns, dass es für jede ϵ-Umgebung des Punktes L irgendeine δ-Umgebung geben muss, sodass … der Rest der Bedingung gilt. Das bedeutet, dass es genügt, wenn es eine solche δ-Umgebung gibt. $\delta =\frac{3}{2}$ war offensichtlich keine gute Wahl, aber wir können ein anderes δ versuchen, zum Beispiel $\delta =\frac{1}{2}$. Das Bild würde sich so ändern:

Wieder sehen wir nach, ob alle Funktionswerte für alle x aus der punktierten δ-Umgebung des Punktes x₀ in der ϵ-Umgebung des Punktes L liegen. Kurz: ob alle blauen Punkte zwischen den grünen Linien liegen. Ja, jetzt tun sie es, hurra.

Heißt das, dass L der Grenzwert der Funktion an der Stelle x₀ ist? Nicht unbedingt, denn die Definition sagt, dass (∀ϵ > 0) … gilt. Wir haben die Definition bisher für ein einziges ϵ überprüft, es bleiben noch … unendlich viele übrig.

Mit anderen Worten: Damit wirklich $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$ gilt, müssten wir für jede ϵ-Umgebung eine δ-Umgebung finden, für die die vorherige Bedingung gilt. Am Bild sehen wir, dass wir eine solche δ-Umgebung immer finden, zum Beispiel können wir, wenn wir ϵ auf $ϵ=\frac{1}{10}$ verkleinern, auch δ auf $\delta =\frac{2}{10}$ verkleinern, und es funktioniert:

Wie klein wir ϵ auch wählen, wir müssen immer ein δ finden, sodass wir die Funktionswerte in die ϵ-Umgebung des Grenzwerts L bekommen.

Beweis des eigentlichen Grenzwerts an einer eigentlichen Stelle

Wir versuchen, den vorherigen Grenzwert wirklich zu beweisen. Aus dem Bild wissen wir schon, dass wahrscheinlich

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1,$$

nun versuchen wir, es mathematisch zu beweisen. Aus dem Bild könnten wir ableiten, dass es klappen könnte, wenn wir für δ immer denselben Wert wie für ϵ nehmen. Setzen wir also δ = ϵ. Nun müssen wir Folgendes beweisen:

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{für alle}x\in ]x_0-\delta ;x_0[\cup ]x_0;x_0+\delta [$$

Da wir δ = ϵ gesetzt haben, ersetzen wir alle δ durch ϵ:

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{für alle}x\in ]x_0-ϵ;x_0[\cup ]x_0;x_0+ϵ[$$

Für L setzen wir 1 und für x₀ setzen wir 3 ein:

$$1-ϵ<f(x)<1+ϵ,\text{für alle}x\in ]3-ϵ;3[\cup ]3;3+ϵ[$$

Nun müssten wir alle Ungleichungen beweisen. Da die Funktion $\frac{x}{3}$ streng monoton steigend ist, genügt es, die Randpunkte 3 − ϵ und 3 + ϵ zu überprüfen. Wir beginnen mit 3 − ϵ – wir setzen den Wert 3 − ϵ in die Funktion $\frac{x}{3}$ ein und zeigen, dass dieser Wert die Ungleichungen 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ immer erfüllt:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3-ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& -\frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Dasselbe mit 3 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3+ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& \frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Falsch bestimmter Grenzwert

Jetzt skizzieren wir noch, was passieren würde, wenn wir glaubten, dass der Grenzwert der Funktion für x gegen drei den Wert ein Halb hat. Wir wählen eine kleine Epsilon-Umgebung:

Und jetzt können wir keine Delta-Umgebung des Punktes x₀ mehr finden, deren sämtliche Funktionswerte zwischen diese grünen Linien passen würden. Wir sehen, dass für die gewählte δ-Umgebung alle blauen Punkte außerhalb der grünen Linien liegen. Würden wir die δ-Umgebung vergrößern, vergrößerten wir nur die Anzahl der blauen Punkte, die wir nicht zwischen die grünen Linien bekommen.

Grenzwert der Signumfunktion

Die Signumfunktion ist eine wunderschöne Funktion, die dir wahrscheinlich den Kopf verdrehen wird. Hier der Graph:

Der Graph ist nicht ganz klar, daher eine Beschreibung in Worten: Ist x negativ, so ist das Signum minus eins, ist es positiv, so ist es plus eins, und ist x gleich null, so ist auch das Signum null. Den Graphen verändern wir mithilfe des Betrags zu f(x) = |sgn(x)| und erhalten so |sgn(0)| = 0, in allen anderen Fällen |sgn(x)| = 1. Graph:

Die Frage lautet, was dieser Grenzwert ergibt:

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=?$$

Die Funktion ist an der Stelle null definiert und der Funktionswert ist ebenfalls null. Das heißt aber nicht, dass auch der Grenzwert null sein muss. Der Grenzwert kann sich vom Funktionswert an der jeweiligen Stelle unterscheiden.

Die einzige Möglichkeit, den Grenzwert so zu wählen, dass die Definition richtig erfüllt ist, ist, den Grenzwert eins zu wählen. Wir können uns auch von der Intuition helfen lassen: Wogegen strebt der Funktionswert, wenn sich x von links der Null nähert? Er nähert sich ständig der Eins. Dass er am Ende auf null springt, stört uns nicht. Analog für x, das sich der Null von rechts nähert.

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=1$$

Würden wir die Funktion in der ursprünglichen Form belassen, d. h. f(x) = sgn(x), dann hätte die Funktion an der Stelle null keinen Grenzwert, sondern zwei verschiedene einseitige Grenzwerte. Von links nähert sich die Funktion minus eins und von rechts plus eins. Du kannst versuchen, das nach der Definition zu beweisen.

Nicht existierende Grenzwerte

Wir zeigen noch einige Beispiele, bei denen Grenzwerte nicht existieren.

Das einfachste Beispiel für die Nichtexistenz eines Grenzwerts ist, den Grenzwert an einer Stelle zu berechnen, die kein Häufungspunkt von D_f ist. Es existiert also zum Beispiel der folgende Grenzwert nicht:

$$\underset{x\to -1}{lim}\ln x$$

Graph:

Periodische Funktionen haben im Unendlichen oft keinen Grenzwert (das gilt nicht für alle!). Typischerweise sind das trigonometrische Funktionen wie zum Beispiel der Sinus. Hier der Graph:

Der Grenzwert im Unendlichen existiert einfach nicht, der Wert des Sinus oszilliert ständig zwischen eins und minus eins, der Grenzwert lässt sich also nicht berechnen.