Einführende Beispiele zur Ableitung

In diesem Artikel zeigen wir zuerst einige nützliche Formeln für das Arbeiten mit Ableitungen und versuchen dann, die Ableitungen einiger Funktionen zu berechnen – einfacher und schwieriger. Wenn du keine Beispiele mit Lösung suchst, sondern die Definition der Ableitung erklärt haben möchtest, gehe zum Artikel Ableitung einer Funktion.

Ableitung von Polynomen

Zuerst erwähnen wir einige Formeln, die wir beim Ableiten von Funktionen in Form eines Polynoms brauchen werden. Links steht die elementare Funktion, die wir ableiten wollen, rechts die Funktion, die nach dem Ableiten entsteht. Der Ordnung halber: c ist eine Konstante (gleich in der ersten Zeile steht also eine konstante Funktion) und wir leiten nach x ab.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c\cdot x^{c-1}\end{array}$$

Einige konkrete Beispiele:

$$f(x)=5$$

Das ist eine konstante Funktion, wir wenden also die erste Formel an und erhalten:

$$f^{\prime }(x)=0.$$

Die lineare Funktion f(x) = x hat nach der zweiten Formel die Ableitung

$$f^{\prime }(x)=1,$$

da gibt es nichts weiter zu untersuchen. Deshalb versuchen wir, die Funktion

$$f(x)=x^5$$

abzuleiten. Wir wenden die letzte Formel an, wobei wir für c den Exponenten einsetzen, das heißt c = 5.

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=5x^{5-1}=5x^4$$

Die Formel würde auch für einen negativen Exponenten funktionieren, wenn wir also die Funktion

$$f(x)=x^{-7}$$

ableiten wollen, erhalten wir:

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}.$$

Für weitere Spielereien brauchen wir Formeln für die Addition und Multiplikation von Funktionen. Und wenn wir aus der abgeleiteten Funktion die ursprüngliche Funktion zurückgewinnen wollen, verwenden wir Integrale.

Ableitung einer Summe

Wenn wir die Ableitung einer Funktion berechnen wollen, die Ausdrücke in einer Summe enthält, berechnen wir einfach die Ableitungen der einzelnen Summanden und addieren die Zwischenergebnisse. Wir schreiben das so:

$$(f_1(x)+f_2(x){)}^{\prime }=f_1^{\prime }(x)+f_2^{\prime }(x)$$

Ein einfaches Beispiel sei die Funktion f(x) = x + 5. Die Ableitung dieser Funktion ist:

$$f^{\prime }(x)=x^{\prime }+5^{\prime }=1+0=1.$$

Die Funktion haben wir in zwei Funktionen zerlegt, nämlich so:

$$\begin{array}{rcl}{f}_1(x)& =& x\\ f_2(x)& =& 5\end{array}$$

und haben nur in die Formel eingesetzt. Das heißt, wir haben die Ableitungen der Funktionen f₁ und f₂ berechnet und die Ergebnisse addiert. Für die Subtraktion funktioniert das genauso. Ein schwierigeres Beispiel:

$$f(x)=x^3+x-8$$

Wieder leiten wir nur die einzelnen drei Summanden ab und lassen sie in der Summe stehen:

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }+x^{\prime }-8^{\prime }=3x^2+1+0$$

Ableitung eines Produkts

Beim Produkt geht es leider nicht so einfach wie bei einer gewöhnlichen Addition, für das Produkt zweier Funktionen müssen wir eine etwas kompliziertere Formel verwenden:

$$(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$$

Eine triviale Funktion, die eine Multiplikation enthält, ist zum Beispiel die Funktion

$$s(x)=5\cdot x^2$$

In der Formel für die Multiplikation haben wir zwei Funktionen, die erhalten wir aus dieser einen Funktion s(x) so: f(x) = 5 und g(x) = x². Jetzt müssen wir nur noch einsetzen:

$$s^{\prime }(x)=5^{\prime }\cdot x^2+5\cdot (x^2{)}^{\prime }=0\cdot x^2+5\cdot 2x=10x$$

Wir sehen, wenn wir eine Funktion der Form

$$f(x)=a\cdot x^c$$

haben, dann erhalten wir nach dem Ableiten

$$(a\cdot x^c{)}^{\prime }=a\cdot (x^c{)}^{\prime }=a\cdot c\cdot x^{c-1}.$$

Diese Regel können wir noch verallgemeinern und statt des Polynoms eine beliebige Funktion einsetzen. Für jede Funktion f(x) gilt also

$$(a\cdot f(x){)}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }(x).$$

Als Beispiel leiten wir diese Funktion ab:

$$f(x)=5x^3-7x^2+10$$

Zu Beginn des Ableitens wenden wir zuerst die Summenregel an:

$$f^{\prime }(x)=(5x^3{)}^{\prime }-(7x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Die Terme im Produkt schreiben wir nach der zuletzt genannten Formel aus:

$$=5(x^3{)}^{\prime }-7(x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Die Ausdrücke in der Klammer leiten wir nach der Regel für die Ableitung von x^c ab.

$$=5\cdot 3x^2-7\cdot 2x+0=$$

Und zum Schluss multiplizieren wir nur noch die Koeffizienten:

$$=15x^2-14x.$$

Ableitung eines Quotienten

Die Ableitung eines Quotienten ist wiederum etwas komplizierter als die Ableitung eines Produkts. Die Formel:

$${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$$

Aber sonst ist das Vorgehen analog zum Produkt. Also gleich ein Beispiel:

$${\left(\frac{x^2+3x+1}{2x-1}\right)}^{\prime }=$$

Der Zähler des Bruchs stellt die Funktion f(x) dar, der Nenner die Funktion g(x). Und jetzt setzen wir nur noch in die Formel ein:

$$=\frac{(x^2+3x+1{)}^{\prime }(2x-1)-(x^2+3x+1)(2x-1{)}^{\prime }}{(2x-1{)}^2}=$$

Im Nenner steht das Quadrat des Nenners und im Zähler haben wir den Bruch nach der Formel ausgeschrieben. Nun leiten wir die erste und die letzte Klammer ab. Wieder kommt dort die Summenregel vor, die überspringe ich und schreibe gleich das Ergebnis hin:

$$=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x+1)}{(2x-1{)}^2}=\dots$$

Diesen Term können wir noch irgendwie vereinfachen, aber das ist in diesem Kapitel nicht mehr wesentlich.

Ableitung elementarer Funktionen

Jetzt führen wir ohne weitere Herleitung einige Formeln für die Berechnung der Ableitung gängiger Funktionen an.

Potenzen und Logarithmen:

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln a};a>0\wedge a\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Beachte, dass die Ableitung der Funktion e^x wieder e^x ist. Das ist kein Tippfehler, sondern eine schöne Eigenschaft, die zur Grundlage von sehr vielen Witzen geworden ist.

Trigonometrische Funktionen:

$$\begin{array}{rcl}(\sin x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\sin x\\ (\tan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\cot x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\sin }^{2}x}\end{array}$$

Ein einfaches Beispiel:

$$(3\sin x+2\ln x{)}^{\prime }=$$

Beide Terme stehen in einer Summe, es genügt also, die Ableitungen der beiden Terme zu addieren. Jeder Term enthält am Anfang eine Konstante, die die Funktion dahinter multipliziert – wir wissen, dass wir in diesem Fall nur die Funktion ableiten und die Konstante nicht ändern müssen. Das machen wir:

$$=3(\sin x{)}^{\prime }+2(\ln x{)}^{\prime }=$$

Das sind schon Tabellenwerte:

$$=3\cos x+2\frac{1}{x}=3\cos x+\frac{2}{x}.$$

Ableitung einer verketteten Funktion

Aus den Eigenschaften der Ableitung und aus ihrer Anwendung bei der Kurvendiskussion wissen wir, dass wir unter gewissen Voraussetzungen zwei differenzierbare Funktionen haben können, deren Verkettung wieder eine differenzierbare Funktion ergibt. Wir zeigen, wie man die Ableitung einer solchen verketteten Funktion berechnet.

Die Ableitung einer verketteten Funktion ist wohl der schwierigste Begriff dieser grundlegenden Ableitungen. Funktionen kann man nämlich verketten. Was eine verkettete Funktion ist, kannst du genauer in den Artikeln Was ist eine Funktion oder Definitionsmenge einer Funktion nachlesen. Grob gesagt bedeutet das, dass wir einer Funktion als Argument eine andere Funktion übergeben. Die symbolische Schreibweise sähe so aus: h(g(x)). Eine konkrete Funktion kann zum Beispiel

$$f(x)=\sin (2x)$$

sein.

Welche zwei Funktionen stecken darin? Der Sinus und dann die innere Funktion 2x. Auf diese Funktion f können wir nicht einfach die allgemeine Formel für sin(x) loslassen, denn die rechnet damit, dass sie im Argument x bekommt, nicht 2x. Die Berechnung der Ableitung einer verketteten Funktion läuft also so ab:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Das heißt, wir leiten die äußere Funktion ab, lassen ihr dasselbe Argument und multiplizieren das mit der abgeleiteten inneren Funktion. Im Fall des Beispiels mit dem Sinus würde gelten:

$$(\sin (2x){)}^{\prime }={\sin }^{\prime }(2x)\cdot (2x{)}^{\prime }=$$

Der Strich nur am Sinus bedeutet, dass wir nur den Sinus selbst ableiten, nicht den ganzen Ausdruck wie im Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung. Die Ableitung des Sinus ist also der Kosinus, wir schreiben statt des Sinus nur den Kosinus hin. Und die Ableitung von 2x ist 2:

$$=\cos (2x)\cdot 2=2\cos (2x).$$

Ein weiteres Beispiel, etwas schwieriger.

$$(\cos (\ln x^2){)}^{\prime }=$$

Hier haben wir eine verschachtelte Funktion mehr. Die äußere Funktion ist der Kosinus, die mittlere der Logarithmus und die ganz innere die Potenz x². Wir gehen aber wieder nach der Formel vor. Wir schreiben es aus:

$$={\cos }^{\prime }(\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Wir leiten nur den Kosinus ab, das Argument des Kosinus lassen wir, wie es ist, also bleibt dort der ganze Logarithmus stehen. Diesen ganzen Ausdruck multiplizieren wir dann noch mit der Ableitung des Arguments, also mit der Ableitung des Logarithmus. Wir leiten den Kosinus ab und haben:

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Der Ausdruck rechts hat sich nicht verändert, wir haben nur den Kosinus abgeleitet. Jetzt machen wir uns an die Ableitung des Logarithmus. Wieder ist es eine verkettete Funktion, wir wenden also rekursiv die Formel für verkettete Funktionen an. Den linken Ausdruck schreiben wir nur ab:

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot {\ln }^{\prime }{x}^2\cdot (x^2{)}^{\prime }=$$

Wir leiten den Logarithmus ab und lassen ihm dasselbe Argument, also x². Aber den ganzen Ausdruck multiplizieren wir noch mit der Ableitung des Arguments, also gerade mit der Ableitung von x². Die Ableitung des Logarithmus ist der Bruch 1/x, wobei wir für x unser Argument x² einsetzen, und die Ableitung von x² ist 2x.

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{1}{x^2}2x=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{2}{x}=-\frac{2\sin (\ln x^2)}{x}.$$