Integral

Das Integrieren einer Funktion ist die Umkehrung des Ableitens einer Funktion.

Stammfunktion

Wir beginnen mit einer leichten Aufgabe. Gegeben sei die Funktion f(x) = 2x. Gesucht ist nun eine Funktion F, die nach dem Ableiten gleich der Funktion f ist. Formal aufgeschrieben suchen wir eine Funktion F mit F′ = f.

Aus den Grundformeln zum Berechnen von Ableitungen wissen wir, dass das die Funktion F(x) = x² ist. Die Ableitung der Funktion x² ist nämlich genau 2x. Die Frage ist, ob diese Funktion die einzige ist, die die Bedingung erfüllt.

Die Antwort lautet nein – wenn wir zur Funktion x² eine beliebige reelle Konstante addieren, erhalten wir nach dem Ableiten wieder die Funktion 2x, weil die Ableitung einer Konstanten null ist. Jede Funktion der Form x² + c, wobei c eine reelle Konstante ist, kann als die von uns gesuchte Funktion F betrachtet werden.

Diese Aufgabe können wir verallgemeinern. Gegeben sei eine reelle Funktion f, und gesucht ist eine Funktion F, für die F′(x) = f(x) für alle x aus D_f gilt, oder für ein Intervall aus der Definitionsmenge. Diese Funktion muss nicht eindeutig bestimmt sein, andererseits muss eine solche Funktion auch gar nicht existieren.

Diese Funktion F nennen wir Stammfunktion der Funktion f. Wir schreiben:

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

Die Funktion f heißt Integrand, den Vorgang des Suchens einer Stammfunktion nennt man Integrieren. Der Ausdruck dx gibt an, nach welcher Variablen wir integrieren. Wenn wir ein Beispiel so aufschreiben

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

wollen wir die Stammfunktion der Funktion 4x³ finden, wobei wir nach der Variablen x integrieren. Das Ergebnis kann also die Funktion x⁴ sein, die nach dem Ableiten genau 4x³ ergibt. Natürlich können wir zu dieser Funktion eine beliebige reelle Konstante addieren.

Man kann beweisen, dass eine Stammfunktion entweder nicht existiert oder immer die Form F(x) + c hat, wobei c eine reelle Konstante ist – und dann gibt es unendlich viele davon, weil es unendlich viele reelle Konstanten gibt. Wenn wir also eine Funktion F(x) finden, können wir alle Stammfunktionen erzeugen. Zugleich gilt, dass keine andere Funktion, die wir auf diesem Weg nicht erzeugen, eine Stammfunktion der gesuchten Funktion ist.

Noch ein paar Worte zum Ausdruck dx. Er wirkt sehr geheimnisvoll, aber er gibt wirklich nur an, nach welcher Variablen wir integrieren. Wenn wir zum Beispiel das Integral

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

haben, bedeutet das, dass wir nach der Variablen b integrieren und die übrigen Buchstaben a und c sich wie Konstanten verhalten. Sie verhalten sich also so, als stünden dort Zahlen.

Integrieren elementarer Funktionen

Wir können leicht Formeln für die Stammfunktionen einiger elementarer Funktionen herleiten. Im ganzen Kapitel setzen wir voraus, dass c ∈ ℝ.

Wir beginnen mit der Funktion f(x) = 0, der Nullfunktion. Welche Funktion ergibt nach dem Ableiten null? Jede Funktion, die nur eine Konstante enthält:

$$\int 0\text{ d}x=c$$

Weiter die Funktion f(x) = 1. Es gilt x′ = 1, also ist das Integral von eins gleich

$$\int 1\text{ d}x=x+c$$

Als Nächstes kommt die Funktion f(x) = x. Welche Funktion müssen wir ableiten, um als Ergebnis x zu erhalten? Wenn wir x² ableiten, erhalten wir 2x. Damit sind wir fast da, wo wir hinwollten. Wir müssen nur durch zwei teilen. Wenn wir also (x²)/2 ableiten, erhalten wir genau x.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Wenn wir das auf die Funktion xⁿ verallgemeinern, wobei n ∈ ℝ, erhalten wir die Formel:

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

Beachte, dass diese Formel für n = −1 nicht gilt, weil wir durch null teilen würden, und das tut man nicht, das ist nicht schön. Für n = −1 erhalten wir also die Funktion f(x) = x⁻¹, das ist die Funktion 1/x. Welche Funktion müssen wir ableiten, um 1/x zu erhalten? Es ist der Logarithmus.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+c$$

Das Problem ist, dass der Logarithmus nur für positive reelle Zahlen definiert ist, die Formel gilt also nicht für alle x aus D_f. Sie gilt aber für das Intervall ]0; +∞[. Für das Intervall ]−∞; 0[ ändern wir nur das Vorzeichen des Arguments des Logarithmus: ln(−x). Zusammengefasst können wir schreiben

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+c$$

Diese Formel gilt für alle x ∈ D_f. Weitere Integrale, zum Beispiel für Winkelfunktionen, findest du in der folgenden Tabelle:

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+c\text{für }a>0,a\ne 1\\ \int \sin x\text{ d}x& =& -\cos x+c\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \sin x+c\end{array}$$

Integral einer Summe

Während das Berechnen der Ableitung einer Funktion meist recht einfach ist und – wie man sagt – es auch ein dressierter Affe schafft, weil man in der Regel direkt nach Formeln vorgeht, ist es bei Integralen anders. Die Verfahren zum Berechnen von Integralen sind deutlich komplizierter, weshalb die Aufgabe, ein Integral zu finden, viel schwieriger ist als das Berechnen einer Ableitung. Das liegt vor allem daran, dass wir zwar eine brauchbare Formel für das Integral einer Summe haben, aber keine für das eines Produkts.

Wir versuchen, dieses Integral zu berechnen:

$$\int x+1\text{ d}x$$

Wie könnten wir das berechnen? Wir brauchen eine Funktion, die nach dem Ableiten x ergibt, und dann eine weitere, die 1 ergibt. Aus den Formeln wissen wir schon, dass das die Funktionen (x²)/2 und x sind. Wenn wir diese Funktionen addieren, erhalten wir f(x) = (x²)/2 + x. Nach dem Ableiten dieser Funktion erhalten wir x + 1. Damit haben wir das Ergebnis:

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+c$$

Beim Rechnen haben wir eine Eigenschaft benutzt – das Integral einer Summe ist gleich der Summe der Integrale. Also

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Das gilt zugleich auch für die Subtraktion:

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

Deshalb konnten wir das vorherige Beispiel so aufschreiben:

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

Ausklammern einer Konstanten

Ein ähnlicher Satz gilt auch für das Ausklammern einer Konstanten vor das Integral. Wenn wir ein Integral der Form

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

haben, wobei a eine reelle Konstante ist, können wir diese Konstante vor das Integral ausklammern:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Beispiel

Berechne das Integral:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

Im ersten Schritt teilen wir es in drei Integrale auf:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

Die Integrale lösen wir nacheinander. Das erste Integral können wir direkt mit der Formel für Potenzen xⁿ lösen:

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+c$$

Im zweiten Integral klammern wir zuerst die Sechs aus:

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

Das Integral von x ist wieder ein Grundintegral, es ist gleich (x²)/2. Wir erhalten also:

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+c$$

Im letzten Integral klammern wir ebenfalls zuerst 42 aus:

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

Und das ist wieder ein Grundintegral:

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+c$$

Diese Teilintegrale addieren wir und haben das Ergebnis:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c$$

Noch eine Anmerkung – in jedem Teilintegral haben wir eine Konstante c erhalten, beim Addieren müssten wir im Ergebnis also +3c statt +c schreiben. Allerdings ist c eine beliebige reelle Konstante, also ist 3c wieder gleich irgendeiner reellen Zahl. Wir könnten c in den Teilintegralen durch c₁, c₂, c₃ ersetzen und dann sagen, dass c = c₁ + c₂ + c₃.