Folgen

Eine Folge ist eine Funktion, deren Definitionsmenge die Menge der natürlichen Zahlen ist. Eine Folge kann entweder unendlich sein, wenn ihre Definitionsmenge die gesamte Menge der natürlichen Zahlen ist, oder endlich, wenn ihre Definitionsmenge nur eine endliche Teilmenge der natürlichen Zahlen ist. Wenn nicht ausdrücklich gesagt wird, dass es sich um eine endliche Folge handelt, nimmt man eine unendliche Folge an.

Definition der Folge

Dieses Kapitel beschreibt zumindest ein wenig die Bedeutung der Definition einer Folge. Du musst sie nicht unbedingt kennen und kannst das ganze Kapitel überspringen, wenn du möchtest.

Die Einleitung hat bereits verraten, dass es sich um eine Funktion handelt, deren Definitionsmenge die natürlichen Zahlen sind. Die Wertemenge kann dann eine beliebige Menge sein, wir setzen hier aber die Menge der reellen Zahlen voraus. Was bedeutet das? Die sichtbarste Veränderung betrifft den Graphen der Funktion, denn es handelt sich nicht um eine durchgehende Linie, wie das bei gewöhnlichen Funktionen oft üblich ist, sondern es gibt dort nur verstreute einzelne, isolierte Punkte der Folge.

Eine Folge kann zum Beispiel die Zahlenfolge 1, 3, 5, 7, 9, 11, … sein. Das ist eine ziemlich klar definierte Folge und jedem sollte klar sein, wie sie weitergeht. Da es sich um eine Funktion handelt, würde die Tabelle der Zuordnung dieser Folge so aussehen:

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

Die Zahlen in der ersten Spalte (Werte aus der Definitionsmenge) geben also die Position der jeweiligen Zahl in der Folge an. In unserer einfachen Folge steht zum Beispiel die Zahl fünf an dritter Stelle. Genau das sagt uns auch die Tabelle. An vierter Stelle der Folge steht die Zahl sieben, an erster die Eins und so weiter. Daraus folgt auch, dass die Definitionsmenge einer endlichen Folge p eine Menge der Form

$$D_p=\{1;2;3;\dots ;n\}$$

sein sollte, damit es wirklich um die Reihenfolge geht und keine Position ausgelassen wird. Zum Beispiel eignet sich die Menge

$$D_p=\{1;2;3;5;7\}$$

nicht als Definitionsmenge einer Folge, weil ihr das vierte und das sechste Element fehlt.

Eine Folge wird also dadurch beschrieben, dass sich ihre Elemente irgendwie ordnen lassen und dass jedes Element der Folge außer dem ersten und dem letzten einen Vorgänger und einen Nachfolger hat. Das ist ein riesiger Unterschied zu reellen Funktionen, bei denen so etwas nicht gilt. Wenn wir die Funktion f(x) = 2x nehmen, welcher Wert folgt dann auf f(5/2)? Wir wissen es nicht, das Ergebnis ist eine reelle Zahl und reelle Zahlen haben keinen Nachfolger.

Schreibweise einer Folge

Wir wissen schon, dass eine Folge – vereinfacht gesagt – eine nummerierte Liste von Zahlen ist. Nun schauen wir, wie man eine Folge aufschreiben kann. Die Folge selbst benennen wir üblicherweise mit einem Kleinbuchstaben mit einem tiefgestellten Index, zum Beispiel a_i.

Die erste Möglichkeit ist das Aufzählen aller Werte der Folge. Dem sind wir im vorigen Kapitel schon begegnet. Die Aufzählung kann endlich oder unendlich sein:

$$\begin{array}{rcl}{a}_k& =& (1,2,3,4,5)\\ a_n& =& (2,4,6,8,10,\dots )\end{array}$$

Anmerkung: Ich bin mir nicht sicher, welche Klammern für Folgen üblicherweise verwendet werden, ich habe keine einheitliche Konvention gefunden. Geschweifte Klammern würde ich wahrscheinlich nicht verwenden, denn diese kennzeichnen Mengen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt, während es bei Folgen auf die Reihenfolge der Glieder ankommt.

Die zweite Möglichkeit ist eine Formel für das n-te Glied der Folge. Die Folge a_n enthielt zum Beispiel alle geraden Zahlen. Das könnten wir mit der Formel so ausdrücken:

$$a_n=2n.$$

Der tiefgestellte Index n bestimmt, das wievielte Element der Folge wir gerade berechnen. Wenn wir also das erste Element kennen wollen, wollen wir das Element a₁ kennen, beim siebten ist es a₇. Das siebte Element würden wir dann durch Einsetzen in die Vorschrift berechnen.

$$a_7=2\cdot 7=14$$

Diese Schreibweise ist vorteilhaft, weil man damit sofort jedes beliebige Element der Folge berechnen kann. Eine weitere Möglichkeit ist die Angabe mithilfe einer rekursiven Definition. Die rekursive Definition ermöglicht es uns, das nächste Glied zu berechnen, wenn wir das aktuelle kennen. Wenn wir also das Element a_n kennen, können wir damit das Element a_{n + 1} berechnen.

Wenn wir eine Folge rekursiv angeben wollen, müssen wir zwei Informationen angeben: welches Element das erste ist und die Vorschrift zur Berechnung des (n + 1)-ten Elements. Wenn wir die Folge der geraden natürlichen Zahlen rekursiv angeben wollten, könnten wir das so tun:

$$a_1=2;a_{n+1}=a_n+2$$

Wie würde man jetzt rechnen? Wir wissen, dass a₁ gleich zwei ist. Nun setzen wir für n die Eins ein und berechnen somit a₂, indem wir zu a₁ die Zwei addieren. Wir erhalten vier, die zweite gerade Zahl. Und so weiter.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Die Schreibweise mit einer rekursiven Definition eignet sich, wenn wir einen größeren Teil der Folge erzeugen müssen. Dagegen eignet sie sich nicht, wenn wir ein bestimmtes Element berechnen wollen, denn um die hundertste gerade Zahl zu berechnen, müssen wir zuerst alle 99 geraden Zahlen berechnen, die der hundertsten geraden Zahl vorausgehen.

Die letzte Möglichkeit ist, die Folge mithilfe eines Graphen anzugeben.

Noch zur Klarstellung: Eine Folge muss nicht unbedingt eine einfache Vorschrift haben, es muss keine „vernünftige“ Zahlenfolge sein. Auch diese Zahlen bilden eine Folge, obwohl sie auf den ersten Blick keinen tieferen Sinn hat:

$$a_i=(-5,\frac{7}{3},\pi ,\pi ,\pi ,13,{10}^6+54,{\log }_{3}54,0)$$

Graph einer Folge

Folgen haben andere Graphen als gewöhnliche reelle Funktionen. Da ihre Definitionsmenge die natürlichen Zahlen sind, besteht ihr Graph aus isolierten Punkten.

Arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge ist eine einfache Folge, bei der zwischen den einzelnen Gliedern der Folge ein konstanter Unterschied besteht. Jedes folgende Element ist zum Beispiel um drei größer oder etwa um siebzehn kleiner. Der Unterschied, um den sich die einzelnen Elemente der Folge unterscheiden, heißt Differenz (wir bezeichnen sie mit d). Im ersten Fall wäre die Differenz drei, im zweiten minus siebzehn und bei der Folge der geraden Zahlen wäre die Differenz zwei. Mit einer Formel könnte man die arithmetische Folge also so schreiben:

$$a_{n+1}=a_n+d$$

Die allgemeine Formel für die Berechnung des n-ten Glieds einer arithmetischen Folge lautet dann

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Nehmen wir als Beispiel wieder die geraden Zahlen, bei denen die Differenz zwei ist und die erste gerade Zahl ebenfalls die Zwei ist. Dann gilt: Die zweite gerade Zahl erhalten wir, indem wir zur ersten die Zwei addieren. Wenn wir noch einmal die Zwei addieren, erhalten wir die dritte gerade Zahl.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Wenn wir zum Beispiel die siebte gerade Zahl berechnen wollten, würden wir so in die allgemeine Formel einsetzen:

$$a_n=a_1+(n-1)d\to a_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

Wie stellt man fest, ob eine gegebene Folge arithmetisch ist? Wir subtrahieren die Formel für das n-te Glied von der Formel für das (n + 1)-te Glied, und wenn wir die Differenz erhalten, handelt es sich um eine arithmetische Folge. Nehmen wir zum Beispiel die Folge

$$a_n=2n+7.$$

Ist diese Folge arithmetisch? Wir beginnen damit, dass wir das (n + 1)-te Glied ausdrücken:

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Nun subtrahieren wir diese beiden Terme voneinander:

$$\begin{array}{rcl}d& =& (2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d& =& 2n+2+7-2n-7\\ d& =& 2n-2n+7-7+2\\ d& =& 2\end{array}$$

Wir sehen, dass wir nach der Subtraktion d = 2 erhalten haben, es handelt sich also um eine arithmetische Folge mit der Differenz zwei.

Summe der Glieder einer arithmetischen Folge

Oft müssen wir die Summe der ersten paar Glieder einer arithmetischen Folge bestimmen. Wie würden wir dabei vorgehen? Intuitiv wohl ungefähr so. Wir bleiben bei den geraden Zahlen. Was ist die Summe der ersten drei geraden Zahlen? Also der Zahlen 2, 4 und 6. Wir können sie natürlich nacheinander addieren, aber das wollen wir nicht, wir wollen eine Formel.

Wir verändern die Folge so: Zum ersten Element addieren wir zwei und vom letzten ziehen wir zwei ab. Wir erhalten 4, 4, 4. Wir sehen, dass wir drei gleiche Zahlen haben, es genügt also, die Vier mit der Anzahl der Glieder, also mit der Drei, zu multiplizieren. Also 4 · 3 = 12.

Bei fünf Elementen sähe es so aus: 2, 4, 6, 8, 10. Zu den äußeren Elementen addieren bzw. subtrahieren wir die Vier, bei den vorletzten die Zwei.

$$\begin{array}{rcl}{a}_i& =& (2+4),(4+2),6,(8-2),(10-4)\\ a_i& =& 6,6,6,6,6\end{array}$$

Wieder genügt es, 6 · 5 = 30 zu multiplizieren. Was sehen wir? Wir multiplizieren immer die Anzahl der Glieder der Folge mit dem mittleren Glied der Folge. In der Folge 2, 4, 6 stand in der Mitte die Vier und in der Folge 2, 4, 6, 8, 10 stand in der Mitte die 6. Wie berechnet man das mittlere Element allgemein (wir bezeichnen es mit p)? Wir berechnen es als Mittelwert des ersten und des letzten Glieds der Folge, also

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

Zum Beispiel bei der zweiten Folge

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

Die resultierende Formel für die Summe der ersten n Glieder der Folge a_n sähe so aus:

$$S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$$

Die Formel gilt auch für eine gerade Anzahl von Elementen, obwohl wir in der Herleitung nur eine ungerade Anzahl von Elementen verwendet haben.

Wie man die Differenz berechnet

Wie berechnet man die Differenz, wenn man zwei Glieder der Folge kennt? Bleiben wir bei den geraden Zahlen. Nehmen wir an, wir kennen diese beiden Glieder der Folge

$$a_3=6,a_7=14.$$

Wie berechnen wir die Differenz? Zuerst berechnen wir den Unterschied zwischen diesen beiden Elementen:

$$a_7-a_3=14-6=8$$

Jetzt genügt es, dieses Ergebnis durch die Anzahl der Schritte zwischen den beiden bekannten Elementen zu dividieren, also durch die Differenz ihrer Indizes:

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

Die Differenz ist zwei. Die resultierende Formel für die Berechnung der Differenz d, wenn wir die Elemente a_k und a_l der Folge kennen:

$$d=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

Der Graph einer arithmetischen Folge zeigt ein konstantes Wachstum oder ein konstantes Fallen – die isolierten Punkte im Graphen liegen auf einer Geraden.

Geometrische Folge

Die geometrische Folge unterscheidet sich von der vorherigen arithmetischen dadurch, dass zwei benachbarte Glieder nicht dieselbe Differenz haben, sondern denselben Quotienten. Diesen Quotienten nennt man dann nicht Differenz wie bei der arithmetischen Folge, sondern Quotient (wir bezeichnen ihn mit q). Wir könnten zum Beispiel eine Folge haben, bei der q = 10 ist und das erste Element 5 wäre:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 5\\ a_2& =& a_1\cdot 10(=50)\\ a_3& =& a_2\cdot 10(=500)\\ a_4& =& a_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

Allgemein gilt also die Formel:

$$a_{n+1}=a_n\cdot q$$

Die Formel für das allgemeine Glied einer geometrischen Folge würde so aussehen:

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

Das dritte Element der vorherigen Folge würden wir zum Beispiel so berechnen:

$$\begin{array}{rcl}{a}_3& =& a_1\cdot q^{3-1}\\ a_3& =& 5\cdot q^2\\ a_3& =& 5\cdot {10}^2\\ a_3& =& 500\end{array}$$

Geometrische Folgen können wir noch in zwei weitere Gruppen einteilen, und zwar danach, was für einen Quotienten sie haben. Ist nämlich der Betrag des Quotienten kleiner als eins, nähert sich die ganze Folge null. Eine solche Folge heißt konvergent. Ist dagegen der Betrag des Quotienten mindestens eins, nähert sich die Folge null nicht und man nennt sie divergente Folge. Für eine konvergente Folge gilt dann eine einfache Formel für die Summe der gesamten Reihe (sie gilt nur für konvergente Folgen, denn eine divergente Folge hat keine endliche Summe):

$$S_a=\frac{a_1}{1-q}.$$

Die Formel für die Berechnung der Summe der ersten i Elemente der geometrischen Folge a_n:

$$S_i=a_1\cdot \frac{q^i-1}{q-1}$$

Die Herleitung der Formel kannst du auf Wikipedia nachlesen.

Der Graph einer geometrischen Folge ist, außer wenn der Quotient gleich eins oder null ist, eine Menge isolierter Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. Ein typischer Graph einer geometrischen Folge sieht so aus:

Ist der Quotient negativ, hat der Graph zwei Äste: