Pascalsches Dreieck

Das pascalsche Dreieck besteht aus Zahlen, und es gilt: Eine Zahl, die unter zwei anderen Zahlen steht, ist gleich deren Summe. Konstruieren wir ein solches pascalsches Dreieck und schauen wir uns anschließend an, wozu es alles gut sein kann.

Wie man das pascalsche Dreieck konstruiert

An die Seiten unseres Dreiecks schreiben wir lauter Einsen, das Innere des Dreiecks füllen wir zunächst mit Fragezeichen:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Jetzt berechnen wir das erste Fragezeichen – wir addieren die beiden Zahlen über ihm und erhalten so 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Ähnlich berechnen wir die Fragezeichen in der nächsten Zeile. Zuerst erhalten wir 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Und dann erhalten wir 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

So gehen wir weiter vor, und mit jeder weiteren Zeile erhalten wir ein weiteres Stück des pascalschen Dreiecks:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Das pascalsche Dreieck ist natürlich unendlich, wir können immer weitere Zeilen bilden. Es gilt aber stets: An den Rändern stehen Einsen, und im Inneren des Dreiecks stehen Zahlen, die als Summe der beiden Zahlen über ihnen entstanden sind. Zum Beispiel ist die Zahl 15 in der letzten Zeile als Summe der Zahlen 5 und 10 über ihr entstanden.

Grundlegende Eigenschaften des pascalschen Dreiecks

Die erste grundlegende Eigenschaft haben wir schon genannt: An den Seiten des Dreiecks stehen immer Einsen:

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

In der „zweiten Reihe“ stehen immer alle natürlichen Zahlen:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Ist dir übrigens aufgefallen, dass das pascalsche Dreieck symmetrisch ist? Jede Zeile ist gleich, egal ob du sie von links nach rechts oder von rechts nach links liest.

Dreieckszahlen

In der dritten Reihe stehen dann die Zahlen 1, 3, 6, 10, 15 …

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Was ist an ihnen interessant? Diese Zahlen nennen wir Dreieckszahlen. Stell dir vor, du hättest mehrere Kreise und wolltest sie zu einem Dreieck legen. Wie viele Kreise würdest du brauchen? Schau dir dazu die folgende Abbildung an:

Wir sehen, dass wir für ein Dreieck mit der Seitenlänge 1 genau einen Kreis brauchen. Für die Seitenlänge zwei brauchen wir drei Kreise, für die Länge drei brauchen wir sechs Kreise und für die Länge vier brauchen wir zehn Kreise. Die Anzahl der Kreise, die wir brauchen, ist immer eine Dreieckszahl, die wir im pascalschen Dreieck finden.

Zeilensummen

Was wäre, wenn wir versuchten, die Zahlen jeder Zeile im pascalschen Dreieck zu addieren?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

Wir sehen, dass die Summe jeder Zeile doppelt so groß ist wie die Summe der vorherigen Zeile. Alle Summen sind also gleich einer Potenz der Zahl zwei. Wenn wir die oberste Zeile als Zeile null bezeichnen, können wir schreiben, dass die Summe der n-ten Zeile des pascalschen Dreiecks gleich 2ⁿ ist.

Primzahlen

Bezeichnen wir die oberste Zeile des Dreiecks als Zeile null. Dann gilt: Wenn wir eine n-te Zeile wählen, wobei n eine Primzahl ist, dann sind alle Zahlen dieser Zeile durch n teilbar (außer den Einsen am Rand).

Nehmen wir als Beispiel n = 5. Die Zahl fünf ist eine Primzahl. Die fünfte Zeile sieht so aus:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Jede dieser markierten Zahlen ist durch fünf teilbar.

Binomischer Lehrsatz

Sicher kennst du die Formeln zur Berechnung von (a + b)² oder (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Wir sehen, dass die Koeffizienten bei den einzelnen Termen den Zahlen im pascalschen Dreieck entsprechen. Betrachten wir zum Beispiel den Term

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Zuerst schreiben wir zu den Termen a³ und b³ die Multiplikation mit eins dazu, damit es deutlicher wird:

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

Jetzt sehen wir, dass die Koeffizienten, mit denen wir die Terme multiplizieren, die gleichen sind wie in der dritten Zeile des pascalschen Dreiecks (wenn wir die oberste Zeile als nullte zählen):

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

Diesem Phänomen widmet sich aber ein eigener Artikel über den binomischen Lehrsatz.