Formeln nach einer Variablen auflösen

Wie du eine kompliziertere Beziehung oder einen Bruch nach einer bestimmten Variablen auflöst. Diese Technik wird besonders beim Arbeiten mit verschiedenen Formeln gebraucht, in denen mehrere Variablen vorkommen. In Kombination mit anderen Formeln können wir damit Unglaubliches erreichen, nämlich aus dem Nichts alles herleiten.

Einfache lineare Terme

Nehmen wir diese Formel: ax + b = c. Wie lösen wir diese imaginäre Formel nach x auf? Wir beginnen immer damit, dass wir alle Terme mit der Variablen, nach der wir auflösen wollen, auf die linke Seite bringen und den Rest auf die rechte. Theoretisch ist es egal, auf welcher Seite was steht, üblich ist aber, die Unbekannte, nach der wir auflösen, links zu haben. Also bringen wir zuerst b auf die rechte Seite, das heißt, wir addieren zur Gleichung −b:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

Die Terme mit der Variablen stehen auf einer Seite, aber das a stört uns noch. Wie werden wir es elegant los? Was müssen wir mit dem Term ax machen, damit nur x übrig bleibt? Genau: Wir dividieren den Term – und damit die ganze Gleichung – durch a, also multiplizieren wir mit $\frac{1}{a}$. Der Wert von a muss dabei ungleich null sein (durch null dürfen wir nicht teilen). Wenn wir so vorgehen, erhalten wir:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Fertig. Noch ein Beispiel:

$$2ax-3bx=10a$$

Wieder sollen wir nach x auflösen. Die Terme mit der Unbekannten stehen schon auf der linken Seite, also haben wir etwas Arbeit gespart. Die Schwierigkeit ist aber, dass wir dort zwei Terme mit der Unbekannten haben. Die Situation lösen wir durch Ausklammern. Aus der linken Seite der Gleichung klammern wir x aus und erhalten:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

Als wir im vorigen Beispiel den Term ax hatten und nur x haben wollten, haben wir die ganze Gleichung mit $\frac{1}{a}$ multipliziert. Jetzt haben wir in der Gleichung den Term x(2a − 3b) und wollen wieder x wissen. Wir machen dasselbe und dividieren die ganze Gleichung durch den Term (2a − 3b). Keine Angst, wir dürfen die Gleichung tatsächlich durch die ganze Klammer dividieren, es muss nur 2a − 3b ≠ 0 gelten.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Brüche

Wenn wir einen Term mit Brüchen haben, verwenden wir dieselben Umformungen von Gleichungen, wir müssen nur aufpassen, dass wir nicht versehentlich durch null dividieren oder mit null multiplizieren. Beispiel:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

Wir wollen nach x auflösen. Die ganze Gleichung multiplizieren wir mit x – wir müssen nur die Voraussetzung x ≠ 0 hinzufügen. Die gilt ohnehin, denn in der Gleichung steht der Bruch $\frac{a}{x}$ und x steht im Nenner – und durch null dürfen wir nicht dividieren. So erhalten wir die Gleichung:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

Beim Auflösen nach der Unbekannten verwende einfach die gewöhnlichen Äquivalenzumformungen von Gleichungen.