Betrag

Der Betrag einer Zahl ist immer eine nichtnegative Zahl, also größer oder gleich null. Wenn wir den Betrag einer positiven Zahl berechnen sollen, ist das immer dieselbe Zahl. Wollen wir aber den Betrag einer negativen Zahl bestimmen, ist es die Gegenzahl (also ist der Betrag von x mit x < 0 gleich −x). Der Betrag wird mit zwei senkrechten Strichen geschrieben: |x|.

Grundlegende Eigenschaften

Obwohl es scheint, dass das Rechnen mit Beträgen ein Kinderspiel sein wird, ist eher das Gegenteil der Fall, meistens können sie eine sonst leichte Funktion ganz schön verkomplizieren. Siehe zum Beispiel lineare Gleichungen mit Betrag. Hier noch einige Beispiele:

$$\begin{array}{rcl}|5|& =& 5\\ |0|& =& 0\\ |-12|& =& 12\\ |3,14|& =& 3,14\\ |-2,71|& =& 2,71\end{array}$$

Der Betrag hat diese Eigenschaften, für Werte x, a, b aus der Menge der reellen Zahlen:

1. |x| ≥ 0
2. |a · b| = |a| · |b|
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
4. |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b

Gesondert berechnet wird der Betrag bei komplexen Zahlen.

Graphen

Graphen von Funktionen mit Betrag zeichnen sich dadurch aus, dass sie Kurven mit einer „Spitze“ bilden. An dieser Stelle ist die Funktion dann nicht differenzierbar.