Verhältnisse

Verhältnisse werden meist verwendet, wenn du das Verhältnis von Stoff A zu Stoff B angeben willst. Zum Beispiel, ob von Stoff A doppelt so viel, halb so viel und Ähnliches enthalten sein soll. Natürlich muss es nicht nur um das Verhältnis zwischen zwei Stoffen gehen, es können auch mehrere beteiligt sein.

Relative Verhältnisse

Verhältnisse sind immer relativ, sie sind keine absolute Größe. Wenn in der Anleitung steht „gib ein halbes Kilo Zucker und ein Viertelkilo Fleisch dazu“, ist das etwas anderes, als wenn dort stünde „gib etwas Fleisch und die doppelte Menge Zucker dazu“. Im ersten Fall bleibt uns nichts anderes übrig, als ein halbes Kilo Zucker zu kaufen, im zweiten Fall genügt es dagegen, wenn wir nur doppelt so viel Zucker wie Fleisch haben. In beiden Fällen kochen wir aber einen ungenießbaren Brei.

Verhältnisse werden üblicherweise mit einem Doppelpunkt geschrieben. Zum Beispiel 1 : 2 oder 5 : 4. Was bedeutet diese Schreibweise? Die erste bedeutet, dass der erste Stoff in halber Menge im Vergleich zum zweiten Stoff vorhanden sein soll. Die zweite sagt wiederum, dass Stoff A fünfmal in der Schüssel sein soll, während dieselbe Menge von Stoff B nur viermal darin sein soll.

Wenn wir ein alkoholisches Getränk „Gleichbrech“ mischen wollen, das ein Verhältnis von Wodka zu Rum von 5 : 2 hat, bedeutet das, dass wir 5 dl Wodka und 2 dl Rum ins Glas gießen. Da es sich um ein Verhältnis handelt, erfüllen wir die Vorgabe auch dann, wenn wir 2,5 dl Wodka und 1 dl Rum eingießen. Es genügt einfach, wenn es 2,5-mal so viel Wodka wie Rum gibt. Auf die Zahl 2,5 sind wir gekommen, indem wir 5 / 2 gerechnet haben. Haben wir also ein Verhältnis von Stoff A zu B von 5 : 1, bedeutet das, dass von Stoff A fünfmal so viel vorhanden sein soll (5 / 1). Beim Verhältnis 7 : 3 wäre es ungefähr 2,3-mal so viel (7 / 3). Beim Verhältnis 1 : 1 wäre von beiden Stoffen gleich viel vorhanden und schließlich wäre beim Verhältnis 2 : 3 von Stoff B 1,5-mal so viel vorhanden (3 / 2) oder von Stoff A nur etwa das 0,67-Fache der Menge von Stoff B (2 / 3).

Beispielaufgaben

Wir haben in der Geldbörse vierzig Euro, in Münzen. Außerdem haben wir im Garten zwei Arbeiter, die die ganze Nacht ein Grab für die Nachbarin gegraben haben, die dir ständig durchs Fenster ins Wohnzimmer schaut. Da Tony schneller gearbeitet hat als Gustav, bekommt er mehr Geld, und zwar im Verhältnis 7 : 3. Wie viel Geld bekommen sie also für ihre morbide Arbeit, wenn wir annehmen, dass wir keine Geizhälse sind und ihnen die ganzen vierzig Euro geben?

Das lässt sich einfach berechnen. Wir haben das Verhältnis 7 : 3. Tony bekommt also sieben Teile, Gustav dagegen nur drei Teile. Wir addieren die Teile des Verhältnisses 7 + 3 = 10 und teilen durch diese Zahl die vierzig Euro, die wir ihnen geben wollen: 40 / 10 = 4. Damit haben wir berechnet, wie viel Euro einem Teil entsprechen. Tony soll sieben Teile bekommen: 4 · 7 = 28 und Gustav drei Teile: 3 · 4 = 12. Und schon ist es gelöst – Tony bekommt 28 Euro und Gustav 12.

Das ist die einfachste Art, Aufgaben mit Verhältnissen zu lösen. Das Verhältnis drückt eigentlich nur Teile eines bestimmten Ganzen aus. Wenn das Verhältnis 1 : 2 ist, bedeutet das, dass Stoff A 1/3 des Ganzen ausmacht und Stoff B 2/3. Das sind nur anders geschriebene Brüche. Dabei bestimmen wir den Nenner, indem wir alle Teile des Verhältnisses addieren, und als Zähler setzen wir einfach die jeweiligen Teile ein. Wenn wir alle Teile addieren, muss das Ganze herauskommen, d. h. eins. 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1. Wir können es auch in Prozent ausdrücken: 33,3 % und 66,7 % (ungefähr). Noch ein einfaches Beispiel:

Lucy und Peter sind schon seit der Kindheit befreundet, aber leider ging jeder von ihnen auf eine andere Universität, die sie für lange Zeit trennte. Lucy studierte Geschichte und Peter studierte Mathematik und Physik. Nach Jahren trafen sie sich in ihrer Lieblingskneipe „Zum nassen Wassermann“ und kamen ins Plaudern. Lucy erzählte Peter, dass sie, seit sie sich nicht gesehen haben, sechzehn Partner hatte (Lucy war ein sehr hübsches Mädchen und auch ein bisschen flatterhaft). Peter war aber ein Schlitzohr und sagte Lucy nicht die genaue Anzahl seiner Freundinnen, er sagte ihr nur, dass das Verhältnis ihrer Partner zu seinen Partnerinnen 8 : 3 ist. Eben ein Mathematiker … Aber Lucy hatte nicht nur makellose Maße von 89-61-88, sondern war auch klug und fing an zu rechnen: Gut, meine sechzehn Partner entsprechen der Acht im Verhältnis, das Peter mir genannt hat. Wenn ich also wissen will, wie viele Kerle einem Teil des Verhältnisses entsprechen, muss ich 16 / 8 = 2 rechnen. Einem Teil entsprechen also zwei Partner. Peter hat drei Teile, also ist die Anzahl seiner Partnerinnen zweimal drei, also sechs. Peter stimmte zu und bestellte noch einen Drink. Nach diesem Abend erhöhte sich bei beiden der Punktestand genau um eins, aber das ist eine andere Geschichte.

Iris arbeitete als Barfrau im Lokal „Sk8 is Gr8“. Eines Abends kam ein leicht angetrunkener Kerl an die Bar und wollte einen speziellen Mixdrink haben. Er sagte der Barfrau seine Anweisungen: „Mädel, ich will das in einem Halbliterglas. Ich will Bananensaft, Cola und Kaffee darin. Das alles im Verhältnis 5 : 2 : 3.“ Die Barfrau Iris wunderte sich, aber der Kunde ist König. Sie machte sich an die Arbeit. Zuerst addierte sie alle Teile: 5 + 2 + 3 = 10. In ein Halbliterglas passen 500 ml Flüssigkeit. Sie musste also herausfinden, wie viele Milliliter einem Teil des Verhältnisses entsprechen. Das fand sie einfach heraus: 500 / 10 = 50. Einem Teil entsprechen 50 Milliliter. In das Glas goss sie also 5 · 50 = 250 ml Bananensaft, 2 · 50 = 100 ml Cola und 3 · 50 = 150 ml Kaffee. Als der Kerl zum zweiten Mal auftauchte, wollte er den Schlüssel zur Toilette.

Kartenmaßstab

Eine klassische Anwendung von Verhältnissen ist auch der Kartenmaßstab.