Több páros vagy páratlan szám van?
Szerinted melyikből van több? Páros vagy páratlan számból? Vagy ugyanannyi van belőlük? Hogyan dönthetnénk el? És mi a helyzet a többi számmal? Páros számból van több, vagy természetes számból? Természetes számból vagy racionális számból? Ez nem teljesen egyszerű, mert az összes említett számból végtelen sok van. Mégis képesek vagyunk összehasonlítani őket, és megállapítani, melyikből van több és melyikből kevesebb.
Nézzük meg ezt egy kis számhalmazon. Képzeljünk el két számhalmazt: a kék számokat és a piros számokat:
Meg tudjuk valahogy mondani, melyikből van több? Pirosból vagy kékből? Jól látszik, hogy… Hogy mi? Hogy színvak vagy, és nem látod jól? Rendben, mostantól a piros számokat négyzetekkel is jelöljük:
Na jó, most már jól látszik, hogy több a kék szám, mint a piros. Ez könnyű volt, mert véges számhalmazokkal dolgozunk, ezért meg tudjuk számolni őket. Látjuk, hogy hat kék számunk van és csak három piros. A végtelen halmazok már nem lesznek ilyen egyszerűek, mert őket nem tudjuk megszámolni. Válaszoljunk hát a címben feltett kérdésre: több a páros vagy a páratlan szám? Az egyszerűség kedvéért maradjunk a pozitív számoknál. Képzelj el egy zsákot tele az összes páratlan számmal és egy zsákot tele az összes páros számmal. Melyik zsák a nagyobb?
Hát, a végtelen sok szám elképzelése nem éppen könnyű, megszámolni őket pedig még nehezebb. Nincs valami más módszer a halmazok méretének összehasonlítására?
Két véges halmaz összehasonlítása
Képzeld el, hogy van egy zsák vőlegényünk és egy zsák menyasszonyunk. Ha minden vőlegényhez van egy menyasszony, és minden menyasszonyhoz egy vőlegény, azt mondhatjuk, hogy ugyanannyi vőlegényünk van, mint menyasszonyunk:
👰 👰 👰 👰 👰 👰
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵
Látod? Az első sor minden menyasszonyának megvan a saját férje a második sorból, és fordítva – minden férjnek megvan a saját felesége. Előfordulhatna azonban más eset is: minden menyasszonynak volna férje, de nem minden férjnek volna menyasszonya:
👰 👰 👰 👰 👰 ❌
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵
Minden feleségnek van férje, de egy férj szomorúan, feleség nélkül marad. Ilyenkor, amikor egy férj kimarad, azt mondhatjuk, hogy több férjünk van, mint feleségünk. Hasonlóképpen, ha egy menyasszony marad ki
👰 👰 👰 👰 👰 👰
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌
akkor azt mondhatjuk, hogy több a menyasszonyunk, mint a férjünk.
Két végtelen halmaz összehasonlítása
Alkalmazhatjuk ezt az eljárást két végtelen halmaz összehasonlítására is? Párosíthatunk minden páratlan számot egy páros számmal, és minden páros számot egy páratlan számmal úgy, hogy egyetlen számot sem használunk fel többször? Igen, lehet! Minden n páratlan számot párosíthatunk az n + 1 páros számmal. Tehát az 5-ös számot párosítjuk az 5 + 1 számmal, a 149-et a 150-nel és így tovább. A párosítást a következő animáció szemlélteti:
Minden páratlan piros számhoz van egy hozzátartozó egyedi kék páros szám, és minden páros kék számhoz van egy hozzátartozó egyedi piros páratlan szám. Sikerült az összes páratlan számot párosítanunk az összes páros számmal. Ez viszont azt jelenti, hogy páros és páratlan szám ugyanannyi van!
Hát jó, ez nem volt egészen meglepő, igaz? Próbáljunk meg összehasonlítani más számhalmazokat: az összes természetes számot a páros számokkal. Itt már megdöbbentőbb lesz az eredmény.
Több a természetes vagy a páros szám?
Melyikből van több? Természetes vagy páros számból?
Nyilván látszik, hogy a természetes számok magukban foglalják az összes páros számot. Ráadásul a természetes számok tartalmaznak még néhány további számot is – a páratlanokat. Egyértelmű tehát, hogy több természetes számnak kell lennie – hiszen kétszer annyi számot tartalmaznak!
Bárcsak az élet ilyen egyszerű lenne!
Minket nem az érdekel, hogy az egyik számhalmaz tartalmaz-e néhány további számot. Minket az érdekel, hogy a két különböző halmaz számait párosíthatjuk-e valahogyan. Képesek vagyunk minden páros számot párosítani minden természetes számmal? Annak ellenére, hogy természetes számból több van? De igen, meg tudjuk csinálni.
Minden p természetes számot egyszerűen párosíthatunk a 2 · p páros számmal, és fordítva – minden n páros számot párosíthatunk az n / 2 természetes számmal. Tehát az 5-ös természetes számot párosítjuk a 10-es páros számmal, a 14-es páros számot pedig a 7-es természetes számmal és így tovább. Az első néhány szám párosítását a következő animáció mutatja:
Hirtelen minden természetes számhoz van egy egyedi páros szám, és minden páros számhoz van egy egyedi természetes szám! Mit számít, hogy természetes számból több van? Mindkettőből végtelen sok van, és sosem fogynak el. A mi szemszögünkből tehát a páros számok halmaza ugyanakkora, mint a természetes számok halmaza! 😱
Ez kicsit ellentmond a megérzéseinknek, de így van.
Több a természetes vagy a racionális szám?
A racionális számok törtek. Racionális szám mindaz a szám, amely felírható p/q alakban, ahol p és q egész számok és q ≠ 0. Például a ½, a ¾ vagy a 8 racionális szám, a π viszont már nem racionális szám. Racionális számból sokkal több van, mint természetesből. Például a 2 és 4 között egyetlen egész szám van, a 3, de végtelen sok racionális szám. Sőt, a 0,001 és 0,002 között is végtelen sok racionális szám van. Ilyen sok racionális szám létezik!
Az ember tehát azt várná, hogy a racionális számok halmazának nagyobbnak kell lennie, mint a természetes számok halmaza. De valahogy mindannyian sejtjük, hogy van valami csavar a dologban. Rendben, próbáljuk meg párosítani a racionális számokat a természetes számokkal. Kezdjük azzal, hogy a racionális számokat felírjuk egy ilyen táblázatba:
A minta nyilván világos: az első sor összes törtjének számlálójában (a törtvonal felett) egyes áll, a nevezőben pedig sorban növekvő számok: 1, 2, 3 és így tovább. Az oszlopban ez fordítva van. Ha a végtelenségig folytatnánk, ebben a táblázatban megvolna az összes létező tört. Például az 1478/517 tört az 1478. sorban és az 517. oszlopban található. Próbáljuk most meg létrehozni a párosító függvényünket. Megalkothatnánk például így:
- Az 1-es természetes számot párosítjuk az első sor első törtjével, vagyis az 1/1-gyel
- A 2-es természetes számot párosítjuk az első sor második törtjével, vagyis az 1/2-del
- A 3-as természetes számot párosítjuk az első sor harmadik törtjével, vagyis az 1/3-dal
- A 4-es természetes számot párosítjuk az első sor negyedik törtjével, vagyis az 1/4-del
- …
Sikerült így az összes természetes számot párosítanunk? Hát igen. Minden természetes számnak megvan a párja. A 174-es természetes szám párja az 1/174 tört. De fordítva is igaz ez? Minden törtnek megvan a párja a természetes számok között? Milyen párja van a 2/3 törtnek? Semmilyen, mert a párosító függvényünkkel sosem jutottunk el a második sorig. Csak a törtek első sorát sikerült párosítanunk.
Azt jelenti ez, hogy racionális számból több van, mint természetesből? Sajnos nem – az, hogy az egyik párosítási stratégia nem működik, még nem jelenti azt, hogy egy másik sem fog. Próbáljuk meg most az átlók mentén haladni:
- Az 1-es természetes számot párosítjuk az 1/1 törttel (első átló),
- a 2-es természetes számot párosítjuk az 1/2 törttel (második átló),
- a 3-as természetes számot párosítjuk a 2/1 törttel (második átló),
- a 4-es természetes számot párosítjuk az 1/3 törttel (harmadik átló),
- az 5-ös természetes számot párosítjuk a 2/2 törttel (harmadik átló),
- a 6-os természetes számot párosítjuk a 3/1 törttel (harmadik átló),
- és így tovább.
A párosítási stratégiákat megnézheted az animáción:
Így az összes törtet lefedhetjük. Egyik átló sem végtelen, ezért egyik átlóban sem ragadunk bent „örökre”. Végül minden törthöz hozzárendelünk valamilyen természetes számot, és természetesen minden természetes számhoz hozzárendelünk egy egyedi törtet.
Hát… Valójában mégsem egészen. Ha újra megnézzük a törtekből álló táblázatunkat, rájövünk, hogy sok szám ismétlődik benne. Például az 1/1, 2/2, 3/3 és így tovább törtek ugyanazt a számot jelölik – az 1-et. Ugyanígy az 1/2, 2/4 és 3/6 törtek egy felet jelölnek. Valójában tehát az 1, 5, 13 és így tovább természetes számokat ugyanarra az 1 racionális számra képezzük le! Több vőlegényünk is ugyanazt a menyasszonyt veszi el. Ez így nem mehet!
Szerencsére ezt könnyen megjavíthatjuk. Egyszerűen kihúzzuk a táblázatból az összes olyan törtet, amely nem egyszerűsített alakban van, vagyis kihúzzuk az összes egyszerűsíthető törtet. A kihúzás után a táblázatban csak egyedi racionális számok maradnak, és az átlós trükkünk működni fog. Minden természetes számot párosítunk egy egyedi racionális számmal, és fordítva.
Ami viszont azt jelenti, hogy a természetes számok halmaza ugyanakkora, mint a racionális számok halmaza!
Egyelőre úgy tűnik, hogy az összes végtelen halmaz ugyanakkora. Létezik olyan végtelen halmaz, amely nagyobb, mint a természetes számok halmaza?
Több a természetes vagy a valós szám?
Itt lép be a játékba az utolsó mentsvárunk: a valós számok. Más számunk a számegyenesen már nincs. Hogyan néznek ki a valós számok? A valós számok magukban foglalják az összes racionális számot, és ezen felül az összes irracionális számot. Ha egy számot tizedes tört alakban írunk fel, akkor igaz, hogy a racionális szám:
- vagy véges tizedes törtként írható fel, pl. 0,4841554,
- vagy végtelen szakaszos tizedes tört: 0,1313131313…
Az irracionális számoknak ezzel szemben mindig végtelen a tizedes tört alakjuk, és az nem szakaszos. Irracionális szám például a π, amely egyenlő 3,141592653…-mal (nincs szakasz). Mondjuk is ki rögtön előre, hogy valós számból sokkal több van, mint racionálisból, tehát mint természetesből. A valós számok halmaza nagyobb, mint a természetes számok halmaza. És ezt hogyan bizonyítjuk?
Képzeld el, hogy találtunk egy párosítási stratégiát, amellyel az összes természetes számot párosíthatjuk az összes valós számmal. Tegyük fel, hogy ez a következő:
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… …
Tegyük fel, hogy a bal oldalon van az összes természetes szám, a jobb oldalon pedig az összes valós szám. Ha ez igaz volna, nem tudnánk találni egyetlen olyan valós számot sem, amely hiányozna a jobb oldalról. Mivel már előre lelőttük a poént, hogy a valós számok halmaza nagyobb, ez azt jelenti, hogy a jobb oldalról hiányzik valamilyen szám. De melyik? Például látjuk, hogy hiányzik a 0,4818063607183678 szám. De mi van, ha éppen a 8-as szám alatt bújik meg?
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 …
És mi a helyzet a 0,4208424736008147 számmal? Ezt sem látjuk. De mi van, ha éppen a kilences szám alatt bújik meg?
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 …
Így nem fog menni. Mivel természetesen nem tudjuk kiírni az összes párt, hiszen végtelen sok van belőlük, nem tippelgethetünk csak úgy, hogy ez a szám véletlenül ott van-e, vagy nincs. Olyan számot kellene találnunk, amely különbözik a táblázat jobb oldalán lévő összes számtól, annak ellenére, hogy nem tudjuk, melyek is a jobb oldali számok. Hogyan csináljuk ezt?
Ahhoz, hogy két szám különbözzön, elég, ha egyetlen számjegyben eltérnek. Például a 0,123456 és a 0,123457 számok nem egyenlőek – pedig csak egyetlen számjegyben különböznek. Ez nekünk elég. A táblázatunkban tehát mindig az n-edik valós számnál kiemelhetjük a tizedesvessző utáni n-edik számjegyet:
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 …
az új számot pedig úgy állítjuk össze, hogy a tizedesvessző utáni n-edik számjegyében különbözzön az n-edik valós szám n-edik számjegyétől. Az új számot tehát úgy építjük fel, hogy nullával kezdjük: 0,??? és a tizedesvessző utáni első számjegyet úgy választjuk meg, hogy különbözzön az első valós szám első számjegyétől, vagyis a hármastól. Írjunk például 0,1???-et. A második számjegynek különböznie kell a második valós szám második számjegyétől, vagyis a 9-től. Írjunk például kettest: 0,12???. És így tovább. Az első kilenc számjegy tehát kinézhet így: 0,123123127 (lásd a táblázat utolsó sorát):
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 ? → 0,123123127
Látjuk, hogy ez a szám különbözik az összes számtól, mert az összes számtól legalább egy számjegyben mindig eltér. Bár a táblázatunk végtelen sok számot tartalmaz, az új számunk végtelen sok számjegyből áll úgy, hogy a táblázat összes számától legalább egy számjegyben különbözik. És vedd észre, hogy végtelen sok olyan számot előállíthatunk, amely nincs a táblázatban! Mi következik ebből? Nem tudjuk párosítani a természetes számokat a valós számokkal. Mindig marad végtelen sok valós szám, amely egyetlen természetes számmal sincs párosítva. Valós számból sokkal több van, mint természetesből.
Megjegyzések a végére
- Az egyszerűség kedvéért az egész cikkben figyelmen kívül hagytuk a negatív számokat. Ezek persze semmin sem változtatnak, és házi feladatként átalakíthatod az itt említett párosítási stratégiákat úgy, hogy a negatív számokkal is működjenek.
- A természetes számok halmazának mérete még külön nevet is kapott. Alef-nullnak nevezzük.
- A matematikában a „halmaz mérete” helyett gyakran használjuk a számosság fogalmát.
