Oldatok hígítása és keverése

Oldat keletkezik például akkor, ha etanolt oldunk vízben. Egynemű keveréket kapunk, amely így az oldott anyagból (etanol) és az oldószerből (víz) áll. Oldaton általában folyékony halmazállapotú oldatot értünk, de általánosságban két szilárd anyag oldata is lehet, például egy ötvözet, a bronz.

Az oldat koncentrációja

A koncentráció megmondja, mennyi oldott anyag van az oldatban. A koncentrációt többféleképpen adhatjuk meg:

• Tömegszázalék: hány gramm oldott anyag van 100 g oldatban.
• Térfogatszázalék: hány milliliter oldott anyag van 100 ml oldatban.
• Arányos: hány százalék oldott anyag van az oldatban, például lehet egy 40%-os oldatunk, ami azt jelenti, hogy 100 ml oldatban 40 ml anyag van.

Milyen koncentrációja lenne a víz és az etanol oldatának, ha ebből az oldatból 500 ml-ünk volna, és ennek 150 ml-e etanol lenne? A térfogatszázalék meghatározásához tudnunk kell, hány ml van 100 ml-ben. Mi viszont azt tudjuk, hány ml van fél literben. Segíthet a hármasszabály. Először kiszámoljuk, mennyi etanol lenne 1 ml oldatban, ezt úgy tesszük, hogy az etanol mennyiségét elosztjuk 500-zal:

$$\frac{150\text{ml}}{500}=0,3\text{ml}$$

Ha tudjuk az etanol mennyiségét 1 ml-ben, a 100 ml-ben lévő mennyiséget úgy kapjuk, hogy ezt a mennyiséget megszorozzuk 100-zal:

$$0,3\text{ml}\cdot 100=30\text{ml}$$

Az oldat koncentrációja tehát 30 ml etanol 100 ml-ben. Ez tehát egy 30%-os oldat.

Keverési egyenlet

A keverési egyenlettel kiszámíthatjuk annak az oldatnak a koncentrációját, amelyet két különböző oldat összekeverésével kapunk. Képzeljük el, hogy van két oldatunk:

1. 500 ml-es oldat, amely 30% etanolt tartalmaz,
2. 400 ml-es oldat, amely 20% etanolt tartalmaz.

Milyen koncentrációjú oldatot kapunk, ha ezeket az oldatokat összekeverjük? Az első oldat térfogata V₁ = 500, a második oldat térfogata V₂ = 400, a keletkező oldat térfogata pedig V = V₁ + V₂.

Szükségünk lesz még az úgynevezett térfogattörtre, ami a koncentráció százalékos kifejezése tört alakra átírva. Az első, 30%-os koncentrációjú oldat térfogattörtje így $c_1=\frac{30}{100}$, a második, 20%-os koncentrációjú oldat térfogattörtje pedig $c_2=\frac{20}{100}$. (Ha liter helyett grammokkal dolgoznánk, tömegtörtjeink lennének, az elv ugyanaz volna.) A keletkező oldat térfogattörtje legyen c. Most felírhatjuk a keverési egyenletet:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot V$$

Ebben az egyenletben az egyetlen ismeretlen a keletkező c koncentráció. Az egyenlőségjeltől balra álló összes értéket ismerjük a feladatból, és a keletkező V térfogatot is ismerjük, hiszen ez csak a V₁ és V₂ térfogatok összege:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

Behelyettesítjük az összes változó konkrét értékét:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{20}{100}\cdot 400=c\cdot (500+400)$$

A bal oldalon most kiszámoljuk a törtek szorzatait, a jobb oldalon pedig csak összeadjuk a térfogatokat:

$$150+80=c\cdot 900$$

Most az egész egyenletet elosztjuk 900-zal, így a jobb oldalon csak a végső c koncentráció marad:

$$\frac{150+80}{900}=c$$

Összeadjuk a számlálót, és felcseréljük a keverési egyenlet bal és jobb oldalát (az ismeretlent általában balra szeretnénk):

$$c=\frac{230}{900}$$

Ez a keletkező térfogattörtünk. Ha arányszámként akarjuk kifejezni, kiszámoljuk 230 osztva 900-zal:

$$\frac{230}{900}=\mathrm{0,255}555\dots$$

A százalékos kifejezést úgy kapjuk, hogy ezt az arányt megszorozzuk 100-zal, így körülbelül 25,6%-ot kapunk. A keletkező oldat koncentrációja körülbelül 25,6%, vagyis 100 ml-ben nagyjából 25,6 ml etanol van.

Mivel hígítsunk, hogy a kívánt oldatot kapjuk?

Szükségünk lehet egy kicsit másfajta kérdés megválaszolására is. Legyen megint egy 500 ml-es oldatunk, amely 30% etanolt tartalmaz, és egy második oldatunk, amely 55% etanolt tartalmaz. Hány ml-t kell a második oldatból az elsővel összekevernünk, hogy 40%-os oldatot kapjunk? Ismét a keverési egyenletet használjuk

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

Az egyetlen ismeretlen most a V₂, minden mást ismerünk. Az előző esettel ellentétben ugyanis ismerjük a $c=\frac{40}{100}$ értéket, mert tudjuk, milyen oldatot akarunk előállítani. Behelyettesítjük az ismert értékeket a keverési egyenletbe:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{55}{100}\cdot V_2=\frac{40}{100}(500+V_2)$$

Az egész egyenletet megszorozzuk 100-zal:

$$30\cdot 500+55\cdot V_2=40\cdot (500+V_2)$$

A bal oldalon kiszámoljuk a szorzatot, a jobb oldalon pedig felbontjuk a zárójelet:

$$15000+55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2$$

Az egyenlet mindkét oldalából kivonjuk a 15 000 értéket:

$$55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2-15000$$

Az egyenlet mindkét oldalából kivonjuk a 40 · V₂ tagot:

$$55\cdot V_2-40\cdot V_2=40\cdot 500-15000$$

Összevonjuk, amit lehet:

$$15\cdot V_2=20000-15000$$

Kivonunk a jobb oldalon:

$$15\cdot V_2=5000$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 15-tel:

$$V_2=\frac{5000}{15}=\mathrm{333,333}\dots$$

Tehát nagyjából 333 ml-t (egyharmad litert) kell hozzáöntenünk a második, 55%-os oldatból, hogy 40%-os koncentrációjú oldatot kapjunk. Ellenőrizhetjük, jól számoltunk-e. Az első 500 ml-es oldat 30% etanolt tartalmazott, ami azt jelenti, hogy 150 ml etanolt tartalmazott. Ha hozzáöntünk 333 ml-t a második, 55%-os oldatból, abban 183 ml etanol van. Végeredményben így egy 500 ml + 333 ml, vagyis 833 ml térfogatú oldatot kaptunk, amelyben 150 ml + 183 ml, vagyis 333 ml etanol van. Ha kiszámítjuk a hányadost

$$\frac{333}{833}\approx 0,4$$

Kerekítés után 40%-os etanol–víz oldatot kaptunk.