Vektorok

A vektor olyan mennyiség, amelynek a nagysága mellett iránya is van. Ebben különbözik a közönséges számtól, vagyis a skalártól, amelynek csak nagysága van.

Irányított szakasz

Adott a síkban két különböző pont, A, B. E két pont között szakaszt húzhatunk. Az ilyen szakaszt általában AB-nek jelöljük, és nem számít, milyen sorrendben írjuk a pontokat: az AB szakasz pontosan ugyanaz, mint a BA szakasz.

Ez nem mindig praktikus, ezért bevezetjük az irányított szakasz fogalmát, amelynél megkülönböztetjük a kezdőpontot és a végpontot. Az $\overrightarrow{AB}$ irányított szakasz kezdőpontja A, végpontja B. Az ábrán az irányított szakaszt nyíllal jelöljük, a szövegben a pontok fölé tett nyíllal írjuk: $\overrightarrow{AB}$. Példa:

Kékkel az AB szakasz látható, pirossal a $\overrightarrow{CD}$ irányított szakasz. Ha olyan $\overrightarrow{AB}$ irányított szakaszunk van, amelyre A = B, akkor ezt nulla irányított szakasznak nevezzük. Ennek a kezdő- és végpontja ugyanaz, szinte szakasznak sem mondanánk, hiszen valójában csak egyetlen pont.

Az irányított szakasz hossza ugyanannyi, mint a közönséges szakaszé. Igaz, hogy $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$.

Az irányított szakasz iránya

Nézd meg a következő két irányított szakaszt, $\overrightarrow{AB}$-t és $\overrightarrow{CD}$-t:

Első pillantásra látszik, hogy az irányított szakaszoknak ugyanaz az irányuk. Bár az „irány” fogalmát pontosan is definiálhatnánk, maradjunk inkább az intuitív felfogásnál. Leegyszerűsítve: két irányított szakasznak akkor van ugyanaz az iránya, ha párhuzamosak, és az egyik nem néz az ellenkező irányba, mint a másik. Ezek mind olyan irányított szakaszpárok, amelyeknek ugyanaz az irányuk:

Az utolsó, zöld szakaszok az $\overrightarrow{IJ}$ és az $\overrightarrow{IK}$ irányított szakasz. Most következnek olyan párok, amelyeknek nem ugyanaz az irányuk:

Mi a vektor

Térjünk vissza az ábrához, amelyen két azonos irányú irányított szakasz látható:

Látjuk, hogy ezeknek az irányított szakaszoknak nemcsak az irányuk, hanem a hosszuk is megegyezik. Az egyetlen különbség, hogy máshol helyezkednek el. Az olyan irányított szakaszok, amelyeknek ugyanaz az irányuk és ugyanakkora a hosszuk, ugyanazt az egy vektort képviselik.

Egy vektort tehát a síkban (a térben…) végtelen sokféleképpen megrajzolhatunk – elég venni bármely irányított szakaszt, amelynek ugyanaz az iránya és a hossza, mint az adott vektornak. A következő irányított szakaszok mind ugyanazt a vektort jelentik:

A vektort csak a hossza és az iránya határozza meg. A vektor hossza és iránya megegyezik az őt képviselő irányított szakasz hosszával és irányával. A vektorokat szokás ugyanúgy jelölni, mint az irányított szakaszt, tehát nyíllal: $\overrightarrow{AB}$ vagy rövidebben $\overrightarrow{u}$.

Egy konkrét irányított szakasz a vektor elhelyezését adja meg. Az előző ábrán összesen 7 irányított szakasz van, mindegyik a vektor más elhelyezését jelöli. Az $\overrightarrow{AB}$ és az $\overrightarrow{MN}$ irányított szakasz ugyanazt a vektort képviseli, mondjuk a $\overrightarrow{v}$ vektort, de ez a $\overrightarrow{v}$ vektor két különböző elhelyezése.

Kollineáris vektorok

Adott két vektor, $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$. Azt mondjuk, hogy ezek a vektorok kollineárisak, ha párhuzamosak. Az $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ vektoroknak nem kell azonos hosszúnak lenniük. Az irányuk vagy megegyezik, vagy ellentétes. Példák kollineáris vektorokra:

Az összes piros vektor kollineáris – párhuzamosak. Az irány itt már nem számít, mindegy, hogy a jobb felső vagy a bal alsó sarok felé mutatnak. A kék $\overrightarrow{GH}$ vektor nem kollineáris.

Ha a kollineáris vektorok iránya megegyezik, azt mondjuk, hogy egyirányúak, ha az irányuk nem egyezik meg, akkor ellentétes irányúak. Térjünk vissza az előző ábrához: az $\overrightarrow{AB}$ és az $\overrightarrow{EF}$ vektor egyirányú, az $\overrightarrow{AB}$ és a $\overrightarrow{KL}$ vektor ellentétes irányú.

A vektorok koordinátái

Már tudjuk, hogy egy vektort végtelen sok irányított szakasz fejezhet ki. Ezek egyikének a kezdőpontja a koordináta-rendszer origója, vagyis a síkban a (0; 0) pont, a térben a (0; 0; 0) pont. Nézd meg a következő ábrát:

Az $\overrightarrow{AB}$ és a $\overrightarrow{CD}$ irányított szakasznak ugyanaz az iránya és ugyanakkora a hossza, ez egyetlen vektor. A $\overrightarrow{CD}$ szakasz ráadásul a koordináta-rendszer origójából indul, a C pont koordinátái (0; 0). Ugyanez igaz az $\overrightarrow{EF}$ és a $\overrightarrow{KL}$ szakaszpárra.

Ha tudjuk, hogy a $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ szakaszok az origóból indulnak, megegyezhetünk abban, hogy ezeket a vektorokat csak a végpontjukkal jelöljük. A kezdőpont ugyanaz (a koordináta-rendszer origója), így ahhoz, hogy a $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ szakaszokat megkülönböztessük, elég felírni a végpontjaikat.

Azt mondjuk, hogy az $\overrightarrow{AB}$ vektornak, tehát a $\overrightarrow{CD}$ vektornak is a koordinátái (3; 1), vagyis a D pont koordinátái – a $\overrightarrow{CD}$ szakasz végpontjáé. A $\overrightarrow{KL}$ vektor koordinátái ekkor (−1; 4), az F pont koordinátái.

Hogyan számítsuk ki a vektor koordinátáit

Most jön a vektor koordinátáinak matematikai meghatározása. Abból indulunk ki, hogy ismerjük az A, B pontok koordinátáit, amelyek az $\overrightarrow{u}$ vektort határozzák meg. Legyen tehát az $\overrightarrow{u}$ vektort az A(2; 3) és a B(5; 4) pont határozza meg. Ez az előző ábrán a feljebb látható piros vektor. Hogyan találjuk meg a D pont koordinátáit, vagyis az $\overrightarrow{u}$ vektort képviselő, az origóból induló irányított szakasz végpontjáét?

Egyszerűen eltoljuk az egész $\overrightarrow{AB}$ szakaszt a koordináta-rendszer origójába. Hogy az A pont az origóba kerüljön, el kell tolnunk 2 kockával balra és 3 kockával lefelé. Ugyanígy a B ponttal. Más szóval: mind az A, mind a B pont koordinátáiból kivonjuk az A pont koordinátáit. Ezzel az $\overrightarrow{AB}$ szakaszt oda toljuk, ahol a $\overrightarrow{CD}$ szakasz van berajzolva. Felírhatjuk:

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2;3)-(2;3)& =& (0;0)\\ B-A=(5;4)-(2;3)& =& (3;1)\end{array}$$

Az $\overrightarrow{u}$ vektor koordinátái tehát (3; 1), annak az irányított szakasznak a végpontja, amelynek a kezdőpontja az origó.

Felírhatjuk, hogy ha az $\overrightarrow{u}$ vektort az A(x₁; y₁) és a B(x₂; y₂) pont határozza meg, akkor az $\overrightarrow{u}$ vektor koordinátáit így kapjuk meg:

$$B-A=(x_2-x_1;y_2-y_1)$$

Az $\overrightarrow{u}$ vektor koordinátáit kerek zárójelbe írjuk, így az előbbi $\overrightarrow{u}$ vektor koordinátáit így jelölnénk: $\overrightarrow{u}(3;1)$.

Visszatérhetünk az ábrához, és kiszámíthatjuk a $\overrightarrow{KL}$ vektor koordinátáit. A K és az L pont koordinátái K(−2; 1), L(−3; 5). A vektor koordinátái tehát

$$L-K=(-3;5)-(-2;1)=(-1;4)$$

Látjuk, hogy helyesen az F pont koordinátái jöttek ki.

Hogyan számítsuk ki a vektorok hosszát

Ha már ismerjük a vektorok koordinátáit, könnyen kiszámíthatjuk a hosszukat. A Pitagorasz-tétel alapján egészen könnyen levezethetjük, hogy a síkban az $\overrightarrow{u}(u_1;u_2)$ koordinátájú vektor hossza

$$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

A következő ábrán látjuk, hogy a vektor koordinátái megegyeznek az így kapott háromszög oldalainak hosszával, és hogy a Pitagorasz-tételt alkalmazva valóban könnyen kiszámítjuk a vektor hosszát.

Ha a vektor $\overrightarrow{u}(2;4)$, a hossza

$$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

Most pedig két példa következik a tanultak gyakorlására.

1. Határozd meg az u vektor koordinátáit, ha az A(3; 7), B(−1; 0) pontok adják meg. Az eljárás teljesen egyszerű és kézenfekvő: $\overrightarrow{u}(u_1;u_2)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   A vektor koordinátái tehát $\overrightarrow{u}(-4;-7)$.

2. Tudjuk, hogy az $\overrightarrow{u}$ vektor koordinátái $\overrightarrow{u}(2;3)$, és az A(6; 6) és a B(x₁; y₁) pont határozza meg, azaz $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$. Add meg a B pont koordinátáit.

   Írjuk fel újra a jól ismert egyenletünket, és fejezzük ki belőle az ismeretlent:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   A második koordinátát ugyanígy kapjuk:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   A B pont koordinátái (8; 9).