Bilangan prima
Bilangan prima adalah bilangan yang hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Sifat-sifat bilangan prima banyak dimanfaatkan, misalnya dalam kriptografi.
Definisi dan contoh
Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Bilangan 1 sendiri bukan bilangan prima. Bilangan prima terkecil adalah 2, karena 2 habis dibagi 1 dan 2. Bilangan 2 juga satu-satunya bilangan prima yang genap. Semua bilangan prima lainnya ganjil, sebab setiap bilangan genap lainnya selain habis dibagi 1 dan dirinya sendiri juga habis dibagi 2.
Beberapa bilangan prima pertama: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271…
Bilangan prima berkaitan dengan teorema dasar aritmetika. Teorema ini menyatakan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih besar daripada 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima.
Uji bilangan prima
Sifat-sifat bilangan prima
- Banyaknya bilangan prima tak hingga. Buktinya dapat kamu temukan di artikel tentang bukti dengan kontradiksi.
- Untuk setiap bilangan bulat z>1, pada interval (z, 2z) terdapat sedikitnya satu bilangan prima. Contoh: untuk z = 2 diperoleh interval (2, 4). Satu-satunya bilangan bulat pada interval ini adalah 3, dan 3 adalah bilangan prima. Untuk z = 5 diperoleh interval (5, 10), yaitu bilangan 6, 7, 8, 9. Bilangan 7 adalah bilangan prima. Hal yang sama berlaku untuk z yang lebih besar.
- Bilangan prima Mersenne adalah bilangan prima yang satu lebih kecil daripada suatu perpangkatan bilangan bulat dari 2. Jadi, bilangan prima Mersenne M berbentuk M = 2z − 1, dengan z suatu bilangan asli. Contohnya bilangan prima 3, karena 22 − 1 = 3, atau 7, karena 23 − 1 = 7.
- Bilangan prima terbesar yang diketahui biasanya justru bilangan prima Mersenne. Misalnya, pada 23 Agustus 2008 ditemukan bilangan prima Mersenne M43112609, dengan indeks bawah menyatakan pangkat z. Bilangan prima ini adalah 243112609 − 1, terdiri atas 12.978.189 angka, dan pada waktu itu merupakan bilangan prima terbesar yang diketahui.
Barisan tanpa bilangan prima
Kita dapat menemukan barisan bilangan asli berurutan sepanjang apa pun yang tidak memuat satu pun bilangan prima. Barisan seperti itu dapat berbentuk k!+2, k!+3, …, k!+k dan memuat k − 1 bilangan komposit berurutan (tanda seru menyatakan faktorial).
Misalnya, untuk k = 6 diperoleh lima bilangan komposit berurutan: 720 + 2, 720 + 3, 720 + 4, 720 + 5, 720 + 6. Bilangan-bilangan ini berturut-turut habis dibagi 2, 3, 4, 5, dan 6. Sebab, bilangan 6! = 720 pasti habis dibagi semua bilangan tersebut karena merupakan hasil kali bilangan-bilangan itu: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2. Jika 720 habis dibagi 3, bilangan 720 + 3 juga habis dibagi 3. Hal yang sama berlaku untuk bilangan lainnya.
Teorema kecil Fermat
Untuk setiap bilangan prima p dan setiap bilangan bulat z, bilangan zp − z habis dibagi bilangan prima p.
Contoh: ambil bilangan prima p = 3 dan bilangan bulat z = 4. Hitung nilai 43 − 4. Hasilnya 60. Ternyata 60/3 = 20, jadi 60 habis dibagi 3, sesuai dengan teorema Fermat. Contoh lain: p = 7, z = 10. Kita hitung hasil antara 107 − 10 = 9.999.990, lalu kita bagi dengan 7: 9.999.990/7 = 1.428.570. Sekali lagi pembagiannya tidak bersisa.
Pertanyaan yang belum terpecahkan
Ada banyak dugaan terkenal tentang bilangan prima yang sampai sekarang (2011) belum berhasil dibuktikan maupun dibantah. Dua yang paling terkenal adalah:
- Banyaknya bilangan prima kembar tak hingga: bilangan prima kembar adalah pasangan bilangan (z, z + 2) yang keduanya bilangan prima, misalnya (3, 5) atau (29, 31). Pertanyaannya, apakah banyaknya pasangan bilangan prima kembar tak hingga? Diduga demikian, tetapi buktinya belum ada.
- Hipotesis Riemann: semua titik nol nontrivial fungsi zeta Riemann mempunyai bagian real