Chứng minh toán học

Chứng minh là nền móng của cả toán học: nhờ chứng minh, từ vài viên sỏi nhỏ, bạn có thể xây nên cả một kim tự tháp, mà lại còn xây ngược đầu.

Ý nghĩa của chứng minh

Chứng minh có ý nghĩa trong toán học vì nhiều lí do. Lí do chính là nếu không có chứng minh, ta không thể khẳng định bất kì ý tưởng hay giả thuyết nào nảy ra trong đầu. Chẳng hạn, ta có thể tin rằng chỉ có hữu hạn số nguyên tố, nhưng nếu không có chứng minh thì đó chỉ là một mệnh đề suông. Mặt khác, ngay cả các mệnh đề chưa được chứng minh cũng có ý nghĩa trong toán học (và ở những lĩnh vực khác). Người ta chỉ cần nói: nếu giả thiết rằng có hữu hạn số nguyên tố là đúng, thì… một lí thuyết nào đó khác cũng đúng.

Nhưng khi đó cũng đừng ngạc nhiên nếu một ngày nào đó có người chứng minh được rằng có vô số số nguyên tố, như ta sẽ thấy ở phần sau, và cả lí thuyết của ta sụp đổ như một ngôi nhà bằng những lá bài. Nhờ chứng minh, ta có thể xây những ngôi nhà bằng lá bài không bao giờ sụp đổ.

Lí do chứng minh được dạy ở trường là: ai hiểu được chứng minh thì cũng hiểu được kiến thức đó. Thường thì rất khó hiểu thấu đáo một phần kiến thức nếu không hiểu các chứng minh. Tôi cố ý nhấn mạnh chữ “hiểu”: nếu bạn học thuộc lòng các chứng minh vào hôm trước ngày thi và hôm sau chỉ chép lại ra giấy, thì không có nghĩa là bạn đã hiểu vấn đề hơn.

Như vậy, khi học một phần kiến thức, chứng minh trả lời câu hỏi “vì sao nó lại như vậy?” Nếu hiểu vì sao một điều đúng, bạn sẽ nhớ nó dễ hơn, và về lâu dài chắc chắn sẽ hiểu kiến thức đó hơn người học theo kiểu “học vẹt rồi quên”. Câu hỏi là đó có phải là mục tiêu của bạn hay không.

Chứng minh là gì

Trong logic toán học, chứng minh được định nghĩa một cách hình thức, chẳng hạn qua khái niệm suy diễn cú pháp, nhưng ở đây ta chỉ cần một định nghĩa đơn giản hơn nhiều.

Mỗi chứng minh bắt đầu bằng một khẳng định mà ta muốn chứng minh. Ta kí hiệu khẳng định này bằng chữ thần bí ϕ. Đó là một chữ cái Hy Lạp, đọc là “phi”. Tiếp theo, ta cần một tập hợp các tiên đề và giả thiết, kí hiệu là Ax, nhờ đó ta chứng minh khẳng định ϕ. Tập hợp tiên đề là những điều ta đã biết, những điều ta giả thiết là đúng. Đó có thể là những điều như “mọi số chẵn đều chia hết cho 2”. Ngoài ra, tập hợp này có thể chứa chẳng hạn các công thức biến đổi biểu thức đã được chứng minh ở nơi khác và ta coi là đúng, chẳng hạn:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2;a,b\in \mathbb{R}$$

Bây giờ ta lần lượt biến đổi các khẳng định trong tập hợp Ax cho đến khi được khẳng định ϕ. Mọi phép biến đổi đều phải đúng về mặt logic, tức là phải phù hợp với logic mệnh đề cơ bản. Chẳng hạn, nếu muốn chứng minh công thức ở trên, ta lấy biểu thức

$$(a+b{)}^2$$

rồi biến đổi tương đương cho đến khi được biểu thức ở vế phải. Cụ thể:

$$(a+b{)}^2=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=$$

$$=a\cdot a+2ab+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$$

Ở bước thứ nhất, ta viết luỹ thừa thành tích; ở bước thứ hai, ta nhân phá ngoặc; ở bước thứ ba, ta cộng các hạng tử đồng dạng; và ở bước cuối, ta viết tích thành luỹ thừa. Mỗi bước là một phép biến đổi sơ cấp mà ta được phép thực hiện, và ta giả thiết rằng mọi phép biến đổi sơ cấp đó đều có trong tập hợp Ax.

Điều quan trọng là mỗi phép biến đổi phải hợp lệ, phải xuất phát từ điều ta đã biết. Chứng minh toán học giống như quá trình tiến hoá: qua những bước biến đổi nhỏ liên tiếp, từ một biểu thức ta đi đến một biểu thức khác.

Chứng minh hiển nhiên

Chứng minh hiển nhiên là thuật ngữ chỉ chứng minh không đủ chỗ trên bảng, nên được bỏ qua và sinh viên tự học trong giáo trình như bài tập về nhà. :-) Nói nghiêm túc: chứng minh hiển nhiên là những chứng minh thường suy ra từ một định nghĩa nào đó chỉ bằng một bước đơn giản.

Ta minh hoạ bằng một ví dụ. Xét tập hợp các số nguyên dương, tức là tập hợp ℕ^* = {1; 2; 3; …}. Ta có thể khẳng định rằng mọi phân số dạng:

$$\frac{q}{p};q,p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

đều có nghĩa, tức là không tồn tại cặp số q, p nào làm phân số đã cho không có nghĩa. Ta chứng minh điều này thế nào? Trước hết cần xác định khi nào phân số không có nghĩa. Phân số không có nghĩa khi mẫu số bằng 0 (không thể chia cho 0). Vậy ta phải chứng minh p ≠ 0 với mọi p có thể. Nhưng ta biết p được lấy từ tập số nguyên dương, mà ta đã định nghĩa là ℕ^* = {1; 2; 3; …}. Tập số nguyên dương không chứa số 0, nên số p luôn khác 0.

$$\mathrm{\forall }p\in {\mathbb{N}}^{\ast }:p\ne 0$$

Thế là chứng minh xong. Ta biết rằng nếu cả tử số và mẫu số của phân số đều là số nguyên dương thì phân số có nghĩa.

Chứng minh hiển nhiên thường đúng là hiển nhiên, nhưng chỉ khi bạn nắm được bối cảnh xung quanh. Chẳng hạn, nếu bạn không hiểu khái niệm tập hợp hoặc không biết “p là phần tử của tập hợp ℕ^*” nghĩa là gì, thì ngay cả chứng minh này cũng không hiển nhiên với bạn. Vì vậy, đặc điểm của chứng minh hiển nhiên không hẳn là đơn giản, mà là ngắn và suy ra dễ dàng từ một bối cảnh nào đó (có thể khó tuỳ ý).

Phản ví dụ

Phản ví dụ có lẽ là cách đơn giản nhất để chứng tỏ một khẳng định là sai. Điều quan trọng nằm ở chữ “sai”. Phản ví dụ có thể chỉ ra một trường hợp mà mệnh đề đã cho không đúng; nhưng nói chung, bao nhiêu ví dụ cũng không đủ khi có vô số phần tử cần kiểm tra.

Ví dụ: “mọi số tự nhiên đều lớn hơn 10”. Làm sao chứng tỏ điều này sai? Phản ví dụ cho khẳng định của ta là số 5 chẳng hạn. Số 5 là số tự nhiên và không lớn hơn 10. Ngược lại, ta không thể chứng minh khẳng định bằng cách kể ra vài số tự nhiên lớn hơn 10. Bạn không thể nói “các số tự nhiên 11, 12, 13, 123 và 5345 đều lớn hơn 10, nên mệnh đề đã cho đúng”. Như thế là không được. Ta chỉ chọn ra vài ví dụ mà khẳng định của ta đúng, điều đó không nói lên gì về các số còn lại mà ta hoàn toàn không nhắc đến.

Ví dụ thứ hai: mọi người đàn ông cao hơn 2 m đều có mắt màu nâu hoặc màu xanh dương. Tôi đoán rất ít người tìm được phản ví dụ. Điều đó cho ta biết gì về mệnh đề này? Hoàn toàn không gì cả. Không tìm được phản ví dụ không có nghĩa là mệnh đề đó đúng. Phản ví dụ có thể tồn tại ở đâu đó, chỉ là ta chưa tìm được. Không tìm được phản ví dụ thì cũng không chứng minh được khẳng định đã cho là đúng.

Chứng minh trực tiếp

Kiểu chứng minh cơ bản là chứng minh trực tiếp. Ta làm đúng theo định nghĩa, biến đổi mệnh đề ban đầu cho đến khi được mệnh đề cần có. Thông thường ta muốn chứng minh một mệnh đề có dạng mệnh đề kéo theo A ⇒ B, trong đó A là điểm xuất phát, là giả thiết, còn B là mệnh đề ta muốn suy ra, muốn chứng minh: nếu mệnh đề A đúng thì mệnh đề B đúng. Nhiều khi đề bài chỉ cho mệnh đề B, tức là điều cần chứng minh, còn mệnh đề A thì ta phải tự chọn cho phù hợp.

Tiếp theo là quá trình dùng các mệnh đề kéo theo để suy ra các mệnh đề mới, và mệnh đề cuối cùng là B. Có thể viết sơ đồ như sau:

$$A\Rightarrow A_1\Rightarrow A_2\Rightarrow A_3\Rightarrow \dots \Rightarrow A_n\Rightarrow B$$

Ví dụ, ta chứng minh mệnh đề sau đúng:

$$a>1\Rightarrow a^2>1$$

Ta làm từng bước:

1. Vì a>1 nên chắc chắn a>0 và a ≠ 0 (thật ra ta chỉ làm yếu điều kiện đi).
2. Vì a khác 0 và dương nên ta có thể yên tâm nhân hai vế của bất đẳng thức với a. Nếu a bằng 0 thì bất đẳng thức chặt không còn giữ nguyên (ta sẽ được 0>0); nếu là số âm thì ta phải đổi chiều bất đẳng thức. Nhân với a, ta được a²>a.
3. Lúc này ta biết a>1 và đồng thời a²>a. Ghép hai bất đẳng thức này lại, ta được: a²>a>1.
4. Từ đây chỉ cần bỏ biểu thức ở giữa là được a²>1. Ta làm được như vậy vì a lớn hơn 1 và a² lớn hơn a. Nếu a² lớn hơn a và a lại lớn hơn 1 thì chắc chắn a² lớn hơn 1.

Viết bằng kí hiệu:

$$a>1\Rightarrow a>0\Rightarrow a^2>a\Rightarrow a^2>a>1\Rightarrow a^2>1.$$

Chứng minh gián tiếp

Chứng minh gián tiếp khai thác nhiều hơn các tính chất của mệnh đề kéo theo. Khi cần chứng minh một khẳng định dạng A ⇒ B, ta có thể dùng mệnh đề phản đảo và chứng minh

$$\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A.$$

Cách làm này đôi khi thuận lợi hơn, chẳng hạn so với chứng minh trực tiếp. Chứng minh phản chứng dùng cách làm tương tự, và mọi chứng minh gián tiếp đều có thể chuyển thành chứng minh phản chứng. Ta thử chứng minh gián tiếp khẳng định

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Bây giờ ta lập mệnh đề phản đảo:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\neg }(a=b)& \Rightarrow & \mathrm{\neg }(a-b=0)\\ a\ne b& \Rightarrow & a-b\ne 0\end{array}$$

Nếu a ≠ b, ta có thể viết b thành tổng b = a + x, trong đó x là khoảng cách từ số a đến số b. Biểu thức trở thành:

$$a\ne (a+x)\Rightarrow a-(a+x)\ne 0;x\ne 0$$

Bỏ đi các biến a có thể triệt tiêu:

$$0\ne x\Rightarrow -x\ne 0;x\ne 0$$

Vì x ≠ 0 nên −x ≠ 0, do đó mệnh đề kéo theo đúng. Khẳng định đã được chứng minh, và vì vậy mệnh đề ban đầu cũng đúng:

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Các kĩ thuật chứng minh khác có thể kể đến chứng minh phản chứng đã nhắc ở trên và chứng minh bằng quy nạp.

Tài liệu tham khảo

• Chứng minh toán học trên Wikipedia