Teorema dasar aritmetika

Teorema dasar aritmetika menyatakan bahwa setiap bilangan asli yang lebih besar daripada 1 dapat dinyatakan secara tunggal sebagai hasil kali bilangan prima. Misalnya, 15 dapat ditulis sebagai hasil kali dua bilangan prima 3 · 5, 30 sebagai hasil kali tiga bilangan prima 2 · 3 · 5, dan 16 sebagai hasil kali empat bilangan prima 2 · 2 · 2 · 2. Hasil kali seperti ini disebut faktorisasi prima. Jadi, kita katakan bahwa faktorisasi prima dari 10 adalah 2 · 5.

Faktorisasi prima yang paling sederhana dimiliki oleh bilangan prima itu sendiri, karena bilangan prima tidak perlu diuraikan lagi. Faktorisasi prima dari 7 adalah 7 saja.

Kalkulator faktorisasi prima

Isi teorema dasar aritmetika

Teorema dasar aritmetika, yang kadang juga disebut teorema fundamental aritmetika, menyatakan dua hal:

• untuk setiap bilangan asli yang lebih besar daripada 1, faktorisasi primanya dapat ditemukan,
• setiap bilangan tersebut mempunyai tepat satu faktorisasi prima.

Mari kita buktikan bahwa hal ini memang benar.

Bukti keberadaan

Pertama, kita buktikan bahwa setiap bilangan asli yang lebih besar daripada 1 memang mempunyai sedikitnya satu faktorisasi prima. Untuk itu kita gunakan induksi matematika. Langkah dasarnya: bilangan asli terkecil yang lebih besar daripada 1, yaitu 2, adalah bilangan prima.

Selanjutnya kita tunjukkan hal berikut. Misalkan setiap bilangan pada barisan 2, …, n mempunyai faktorisasi prima. Jika bilangan n + 1 ditambahkan ke barisan ini, bilangan baru tersebut juga mempunyai faktorisasi prima. Kita lihat dulu pada contoh.

Pada awalnya, barisan 2, …, n agak janggal karena hanya memuat satu bilangan, yaitu 2. Kita menyatakan bahwa jika bilangan n + 1, yaitu 3, ditambahkan ke barisan ini, bilangan tersebut mempunyai faktorisasi prima. Karena 3 bilangan prima, faktorisasi primanya tentu ada, yaitu 3 itu sendiri.

Sekarang barisan 2, …, n mempunyai dua suku: 2, 3. Kita tambahkan bilangan 4 ke barisan. Bilangan 4 bukan bilangan prima, sehingga 4 dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua bilangan asli lain yang lebih besar daripada 1, tetapi lebih kecil daripada 4. Semua bilangan seperti itu termasuk dalam barisan kita! Selain itu, barisan ini hanya memuat bilangan yang mempunyai faktorisasi prima. Jadi, bilangan 4 pun harus mempunyai faktorisasi prima: 2 · 2.

Sekarang kembali ke bukti umum. Bilangan 2 adalah bilangan prima, sehingga mempunyai faktorisasi prima. Asumsikan bahwa setiap bilangan pada barisan 2, …, n dapat difaktorkan menjadi bilangan prima. Inilah hipotesis induksi kita. Bilangan n + 1 dapat berupa bilangan prima, yang jelas merupakan faktorisasi primanya sendiri, atau bilangan komposit. Dalam kasus kedua, terdapat bilangan a, b sehingga

$$n+1=a\cdot b$$

dengan kedua bilangan asli ini tentu lebih kecil daripada n + 1 dan lebih besar daripada 1:

$$\begin{array}{rcl}a>1,& & a<n+1\\ b>1,& & b<n+1\end{array}$$

Jadi, bilangan a, b termasuk dalam barisan 2, …, n. Menurut hipotesis induksi, setiap bilangan pada barisan ini mempunyai faktorisasi prima, sehingga dapat ditulis

$$\begin{array}{rcl}a& =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\\ b& =& q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

dengan semua p_i dan q_j bilangan prima, sehingga p₁ · p₂ · … · p_i dan q₁ · q₂ · … · q_j adalah faktorisasi primanya. Karena n + 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali n + 1 = a · b, berlaku pula

$$\begin{array}{rcl}n+1& =& a\cdot b\\ & =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\cdot q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

Jadi, bilangan n + 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan prima p₁ · p₂ · … · p_i · q₁ · q₂ · … · q_j. Artinya, bilangan n + 1 yang baru ditambahkan juga mempunyai faktorisasi prima. Dengan demikian, setiap bilangan asli yang lebih besar daripada 1 mempunyai sedikitnya satu faktorisasi prima.

Bukti ketunggalan

Sekarang kita tunjukkan bahwa setiap bilangan asli yang lebih besar daripada 1 tidak mempunyai lebih dari satu faktorisasi prima. Pernyataan ini kita buktikan dengan cara bukti dengan kontradiksi. Andaikan pernyataan itu salah, yaitu ada bilangan asli n yang lebih besar daripada 1 dan mempunyai dua faktorisasi prima yang berbeda:

$$\begin{array}{rcl}n& =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\\ n& =& q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

Andaikan pula bahwa di antara semua bilangan yang mempunyai lebih dari satu faktorisasi prima, n adalah yang terkecil. Artinya, tidak ada bilangan asli yang lebih kecil yang mempunyai lebih dari satu faktorisasi prima. Karena q₁ adalah salah satu bilangan prima yang membagi n, tentu q₁ juga membagi p₁ · p₂ · … · p_i.

Selanjutnya kita gunakan lema Euklides. Lema ini menyatakan bahwa jika bilangan prima p membagi hasil kali dua bilangan bulat a · b, maka p juga membagi sedikitnya salah satu dari a atau b. Contoh: bilangan prima 3 membagi 84. Bilangan 84 dapat ditulis sebagai hasil kali 12 · 7. Menurut lema Euklides, bilangan prima 3 membagi sedikitnya salah satu dari 12 atau 7. Dalam hal ini, 3 membagi 12.

Dengan lema ini, karena q₁ membagi p₁ · p₂ · … · p_i, bilangan itu juga harus membagi sedikitnya salah satu dari p₁, p₂, …, p_i. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan q₁ membagi p₁. Namun, p₁ juga bilangan prima. Kapan suatu bilangan prima dapat membagi bilangan prima lain? Misalnya, bilangan prima mana yang habis dibagi bilangan prima 7? Hanya 7 sendiri. Bilangan prima 7 tidak dapat membagi bilangan prima lain, sebab jika demikian, bilangan lain itu bukan bilangan prima. Jadi, haruslah p₁ = q₁.

Artinya, dalam kedua faktorisasi prima terdapat satu bilangan prima yang sama, yaitu p₁ atau q₁. Mari kita bagi kedua persamaan, masing-masing dengan p₁ dan q₁:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n}{p_1}& =& \frac{p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i}{p_1}\\ \frac{n}{q_1}& =& \frac{q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j}{q_1}\end{array}$$

Karena p₁ = q₁, di ruas kiri diperoleh bilangan yang sama. Sebut saja bilangan ini m. Jadi,

$$m=\frac{n}{p_1}=\frac{n}{q_1}$$

Di ruas kanan, pecahannya tinggal kita sederhanakan:

$$\begin{array}{rcl}m& =& p_2\cdot p_3\cdot \dots \cdot p_i\\ m& =& q_2\cdot q_3\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

Bilangan m pasti bilangan asli yang lebih kecil daripada n, karena m diperoleh dengan membagi n dengan salah satu faktor primanya. Namun, di ruas kanan kedua persamaan terdapat faktorisasi prima dari m. Jadi, kita berhasil menemukan bilangan lain, yaitu m, yang lebih kecil daripada n dan juga mempunyai dua faktorisasi prima yang berbeda. Hal ini bertentangan dengan pengandaian bahwa n adalah bilangan terkecil yang mempunyai lebih dari satu faktorisasi prima.

Satu-satunya kemungkinan adalah tidak ada “bilangan terkecil yang mempunyai lebih dari satu faktorisasi prima”. Jika bilangan terkecil seperti itu tidak ada, berarti tidak ada satu pun bilangan yang mempunyai lebih dari satu faktorisasi prima. Jadi, setiap bilangan bulat yang lebih besar daripada 1 mempunyai tepat satu faktorisasi prima.