Mengapa 0,999… sama dengan 1
Bilangan 0,999…, yang di belakang komanya terdapat tak hingga banyaknya angka 9, sama dengan satu. Bukan kira-kira, bukan “hampir”, tetapi tepat sama. Kebanyakan orang tidak langsung percaya, dan perdebatan tentang bilangan yang satu ini termasuk perdebatan matematika yang paling sering muncul di internet. Kita akan melihat beberapa bukti, lalu mencari tahu mengapa intuisi kita terus membisikkan hal sebaliknya.
Seperti desimal berulang lainnya, bilangan ini dapat ditulis dengan garis di atas angka yang berulang:
Lewat sepertiga
Kita mulai dari pecahan yang tidak menyulitkan siapa pun. Jika 1 dibagi 3, hasilnya desimal berulang:
Sekarang kedua ruas persamaan kita kalikan dengan 3. Di ruas kiri diperoleh
Di ruas kanan, setiap angka 3 dikalikan satu per satu. Karena 3 · 3 = 9 dan tidak ada yang perlu disimpan ke nilai tempat berikutnya, diperoleh
Ruas kirinya sama, jadi ruas kanannya juga harus sama: 1 = 0,999… Siapa pun yang menerima 0,333… sebagai sepertiga tidak bisa menolak hasil ini.
Lewat perkalian dengan 10
Cara ini sudah kita temui dalam artikel tentang bilangan rasional, yang memakai langkah yang sama untuk mengubah desimal berulang menjadi pecahan. Kita namai bilangan kita a:
Kalikan dengan 10. Koma bergeser satu tempat ke kanan, dan di belakangnya tetap ada tak hingga banyaknya angka 9:
Dari hasil ini kita kurangkan a, dan semua angka 9 di belakang koma saling menghapus:
Tinggal dibagi 9:
Berapa selisihnya?
Jika 0,999… dan 1 berbeda, selisihnya pasti suatu bilangan positif. Mari kita coba melacaknya. Pertama, ambil angka 9 yang banyaknya berhingga saja:
Setiap tambahan angka 9 membuat selisihnya sepuluh kali lebih kecil. Di bagian atas gambar terdapat garis bilangan dari nol sampai satu, dengan titik biru di 0,9 dan ruas merah yang masih kurang untuk mencapai satu. Setiap garis berikutnya memperbesar ruas ini sepuluh kali, sehingga titik-titik birunya berturut-turut terletak di 0,9, 0,99, dan 0,999:
Pilih bilangan positif sekecil apa pun, misalnya sepersemiliar: dengan angka 9 yang cukup banyak, selisihnya akan lebih kecil lagi. Namun, dalam 0,999… semua angka 9 sudah ada sekaligus, tak hingga banyaknya, sehingga selisihnya harus lebih kecil daripada bilangan positif mana pun. Masalahnya, tidak ada bilangan positif yang lebih kecil daripada semua bilangan positif, karena bilangan itu harus lebih kecil juga daripada setengah dirinya sendiri. Jadi, selisihnya hanya bisa nol.
Keberatan yang sering muncul adalah bahwa selisihnya 0,000…01, yaitu tak hingga banyaknya angka 0 dan angka 1 di ujungnya. Namun, deretan angka 0 yang panjangnya tak hingga tidak punya ujung, jadi tidak ada tempat untuk menulis angka 1 itu.
Tidak ada yang muat di antaranya
Di antara dua bilangan real berbeda mana pun selalu ada bilangan lain, misalnya rata-rata keduanya. Di antara 0,5 dan 0,6 terletak 0,55, dan di antara 0,5 dan 0,55 terletak 0,525. Hal ini berlaku untuk setiap pasangan bilangan berbeda, sedekat apa pun keduanya: rata-ratanya selalu muat di antara keduanya.
Bilangan apa yang terletak di antara 0,999… dan 1? Bilangan itu harus lebih besar daripada 0,999… dan sekaligus lebih kecil daripada satu, jadi harus diawali dengan nol dan koma. Akibatnya, sedikitnya satu angka di belakang komanya harus lebih besar daripada 9, padahal angka seperti itu tidak ada. Tidak ada yang muat di antara kedua bilangan ini, jadi keduanya sama.
Sebagai jumlah tak hingga
Penulisan desimal sebenarnya adalah penjumlahan: 0,999… berarti sembilan per sepuluh ditambah sembilan per seratus ditambah sembilan per seribu, dan seterusnya:
Setiap suku adalah sepersepuluh suku sebelumnya. Jadi, kita menjumlahkan suku-suku barisan geometri dengan suku pertama
Kita substitusikan:
Lebih tepatnya, jumlah deret tak hingga adalah limit dari jumlah suku-suku pertamanya, yaitu limit barisan 0,9; 0,99; 0,999; … Barisan ini mendekati satu, dan penulisan 0,999… berarti tepat limit ini. Bukti-bukti sebelumnya pun bertumpu pada hal ini.
Mengapa kita sulit memercayainya
Intuisi kita mencampuradukkan “banyak angka 9” dengan “tak hingga banyaknya angka 9”. Bilangan 0,999 dengan tiga angka 9 memang lebih kecil daripada satu, begitu pula bilangan dengan sejuta angka 9. Jika dicetak, bilangan itu akan memenuhi beberapa ratus halaman, tetapi tetap masih kurang sedikit untuk mencapai satu. Namun,
Kita juga sering membayangkan 0,999… sebagai suatu proses: angka 9 terus ditambahkan dan bilangannya merayap mendekati satu. Namun, bilangan itu sebenarnya tidak bergerak ke mana-mana. Semua angka 9 di dalamnya sudah ada sejak awal, dan nilainya tidak berubah.
Batu sandungan kedua adalah kesan bahwa satu bilangan memiliki dua penulisan yang berbeda. Namun, hal ini sudah kita kenal dari pecahan:
Seperti setengah dapat ditulis dengan berbagai pecahan, 0,5 juga punya satu penulisan desimal lain:
Setiap bilangan yang representasi desimalnya berhingga, kecuali nol, memiliki dua penulisan, misalnya 0,25 = 0,24999… atau 7 = 6,999… Ini bukan dua bilangan, melainkan satu bilangan dalam dua samaran.