Asal-usul bilangan Euler

Bilangan Euler adalah salah satu konstanta matematika yang paling terkenal, bersama misalnya bilangan pi, π. Kita akan melihat bagaimana bilangan ini ditemukan dan apa artinya.

Pada abad ketujuh belas, matematikawan Swiss Jacob Bernoulli tertarik pada bunga majemuk. Bayangkan kita punya uang Rp1 juta yang kita simpan di bank yang menawarkan bunga 100% per tahun. Bagi bank, tawaran ini benar-benar gila, tetapi apa sih yang tidak dilakukan demi matematika. Berapa uang kita di rekening tepat setahun kemudian? Tentu Rp2 juta.

Bagaimana jika bank menawarkan bunga 50% yang dibayarkan setiap setengah tahun? Apakah ini lebih menguntungkan bagi kita atau kurang?

Setelah setengah tahun pertama, uang kita bertambah setengahnya. Dalam matematika, “bertambah setengahnya” ditulis sebagai $x\cdot (1+\frac{1}{2})$. Supaya hitungannya sederhana, kita hitung dalam juta rupiah. Untuk x kita substitusikan tabungan kita, yaitu 1 (juta rupiah), lalu kita hitung

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1,5$$

Setelah setengah tahun, saldo di rekening kita 1,5 juta rupiah (Rp1.500.000). Setelah setengah tahun kedua, uang kita kembali bertambah setengahnya. Kita pakai rumus yang sama, hanya saja untuk x kita substitusikan saldo baru kita, yaitu 1,5:

$$1,5\cdot (1+\frac{1}{2})=2,25$$

Jadi, setelah setahun saldo di rekening kita 2,25 juta rupiah (Rp2.250.000). Bunga yang lebih kecil tetapi lebih sering dibayarkan ternyata lebih menguntungkan bagi kita.

Bunga setiap bulan

Bagaimana jika bank menawarkan bunga setiap bulan, tetapi besarnya hanya seperdua belas bunga semula? Wah, hitungannya mulai banyak. Berapa saldo kita setelah bulan pertama? Uang kita “bertambah seperdua belasnya”, yang ditulis sebagai $x\cdot (1+\frac{1}{12})$. Jadi, setelah bulan pertama kita punya:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,083}3333\dots$$

Setelah bulan kedua, kita punya

$$\mathrm{1,083}3333\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Namun, perhatikan bahwa sebagai ganti bilangan 1,0833333 kita bisa menulis $1\cdot (1+\frac{1}{12})$, karena kita tahu bahwa keduanya sama:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Setelah bulan ketiga, saldo di rekening kita:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,271}41203$$

Seperti terlihat, perhitungan kita mengikuti suatu pola. Bentuk dalam kurung muncul sebanyak nomor bulan yang sedang kita hitung. Bentuk sebelumnya dapat disederhanakan: sebagai ganti tiga kurung yang sama, kita tulis satu kurung saja lalu kita pangkatkan tiga:

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Perkalian dengan satu di depan juga tidak diperlukan, jadi kita hapus saja:

$${(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Jika sekarang kita ingin menghitung saldo setelah dua belas bulan, kita cukup mengganti pangkat 3 dengan 12:

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=\mathrm{2,613}0352$$

Setelah dua belas bulan, saldo di rekening kita sekitar 2,6130352 juta rupiah, yaitu kira-kira Rp2.613.035. Lumayan! Jauh lebih baik daripada bunga 100% per tahun.

Bunga majemuk kontinu

Kita tidak harus berhenti di bulan. Berapa yang kita dapat jika bunga dibayarkan setiap minggu dan besarnya $\frac{1}{52}$ bunga semula? Rumusnya sudah kita ketahui, jadi tinggal substitusi:

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=\mathrm{2,692}5969$$

Bunga harian?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=\mathrm{2,714}5674$$

Bunga setiap jam? (Satu tahun ada 8.760 jam.)

$${(1+\frac{1}{8.760})}^{8.760}=\mathrm{2,718}126$$

Terlihat bahwa setiap kali kita mengambil bunga yang lebih kecil dan membayarkannya lebih sering, pada akhirnya uang di rekening kita sedikit lebih banyak. Namun, tambahannya tidak lagi besar. Kita bisa terus begini tanpa akhir. Sebenarnya itu ide yang bagus: kita bisa membayarkan bunga setiap menit, setiap detik, setiap milidetik, setiap nanodetik… sampai bunga dibayarkan terus-menerus. Kita akan mendapat bunga kontinu yang sangat kecil, yang ditambahkan ke saldo setiap saat. Berapa uang di rekening kita setahun kemudian dalam kasus ini?

Kembali ke bilangan Euler

Inilah pertanyaan yang coba dijawab oleh Jacob Bernoulli. Sayangnya, ia tidak berhasil. Jawabannya baru ditemukan pada abad ke-18 oleh matematikawan termasyhur Leonhard Euler. Ia menghitung bahwa setahun kemudian saldo di rekening kita adalah

$$\mathrm{2,718}28182845904523536028747135\dots$$

juta rupiah, atau dibulatkan Rp2.718.282. Terlihat bahwa hasilnya tidak jauh lebih besar daripada ketika bunga dibayarkan setiap jam. Ternyata saldo ini, yaitu bilangan ini, sangat penting di berbagai cabang matematika. Karena itu, sampai sekarang bilangan ini disebut bilangan Euler dan dilambangkan dengan huruf e. Bilangan Euler adalah bilangan irasional, yaitu bilangan yang representasi desimalnya tak berhingga dan tidak berulang, seperti bilangan π. Jadi, kamu tidak akan pernah melihatnya secara utuh. Meskipun begitu, bilangan Euler dapat didefinisikan secara tepat dengan limit fungsi:

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Sumber dan tautan

• Episode yang sangat bagus dari kanal berbahasa Inggris Numberphile tentang bilangan Euler.
• Cara menghitung bunga KPR