Bilangan rasional

Bilangan rasional adalah semua bilangan yang dapat ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat, yaitu dalam bentuk pecahan.

Definisi

Jadi, bilangan rasional adalah semua bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk

$$\frac{a}{b}a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0.$$

Syarat bahwa kedua bilangan harus bulat punya alasan yang jelas. Jika kamu memilih bilangan yang tidak rasional, misalnya π, lalu menyusun pecahan seperti ini:

$$\frac{\pi }{1},$$

kamu akan kembali mendapat bilangan π, yang tidak rasional. Karena itu, pembilang dan penyebutnya harus bilangan bulat. Selain itu, karena kita tidak boleh membagi dengan nol, penyebutnya tidak boleh sama dengan nol.

Kita juga dapat mengatakan bahwa bilangan rasional adalah bilangan yang representasi desimalnya berhingga, atau tak berhingga tetapi memuat bagian yang berulang secara periodik. Berikut beberapa contoh bilangan rasional, pertama dalam bentuk pecahan:

$$\frac{1}{3},-\frac{5}{9},\frac{13}{29},\frac{4}{1},\dots$$

lalu dalam bentuk desimal: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333…=$0,\bar{3}$

Desimal berulang

Pada contoh sebelumnya ada bilangan 0,3333… Bilangan ini adalah bentuk desimal dari pecahan 1/3, dan representasi desimalnya tak berhingga. Meskipun begitu, bilangan ini rasional karena representasi desimalnya berulang. Desimal berulang berarti bahwa mulai dari suatu bagian bilangan, rangkaian angka yang sama terus berulang. Pada contoh kita, angka 3 berulang terus tanpa akhir. Namun, yang berulang tanpa akhir bisa juga misalnya rangkaian angka 12345. Bilangan seperti itu tetap desimal berulang, yaitu bilangan rasional.

Jadi, setiap bilangan yang representasi desimalnya berhingga adalah bilangan rasional. Setiap bilangan yang representasi desimalnya tak berhingga dan memuat bagian yang berulang secara periodik juga bilangan rasional. Bilangan yang representasi desimalnya tak berhingga dan tidak memuat bagian berulang adalah bilangan irasional.

Bagian berulang (periode) ditandai dengan tiga titik atau, yang lebih sering, dengan garis di atas angka-angka yang berulang. Yang berulang bisa satu angka, tetapi bisa juga beberapa angka. Bagian berulang bisa dimulai tepat di awal bagian desimal atau di tempat mana pun sesudahnya. Semua bilangan berikut adalah desimal berulang:

$$\begin{array}{rclcl}7/3& =& \mathrm{2,333}33\dots & =& 2,\bar{3}\\ 16/11& =& \mathrm{1,454}545\dots & =& 1,\overline{45}\\ 11/6& =& \mathrm{1,833}333\dots & =& 1,8\bar{3}\end{array}$$

Notasi dan makna

Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q yang lengkungnya ganda: ℚ. Lambang ini berasal dari kata bahasa Inggris “quotient”, yang berarti hasil bagi.

Bilangan rasional dipakai untuk menyatakan bagian dari suatu keseluruhan, misalnya “setengah” atau “sepersepuluh”. Keduanya menyatakan bagian dari keseluruhan, yang dalam bilangan rasional dapat ditulis sebagai hasil bagi 1/2 dan 1/10. Dalam hal ini, penyebut menyatakan keseluruhan dan pembilang menyatakan bagiannya. Jika pembilang sama dengan penyebut, artinya kita memiliki keseluruhannya. Bagian-bagian seperti ini biasanya diubah menjadi persen.

Sifat-sifat

1. Himpunan bilangan rasional adalah himpunan terhitung yang tak hingga.

• Bilangan rasional tertutup terhadap operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Artinya, jika dua bilangan rasional dibagi, hasilnya juga bilangan rasional. Inilah perbedaannya dengan bilangan bulat, yang tidak tertutup terhadap pembagian.
• Bilangan rasional memuat semua bilangan bulat. Karena setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai pecahan a/b, cukup ambil b = 1. Setelah dibagi, a/1 = a, sehingga kita selalu kembali mendapat nilai pembilangnya.
• Jika kita ambil dua bilangan rasional a dan b dengan a < b, kita selalu dapat menemukan bilangan rasional lain q yang memenuhi a < q < b. Dengan kata lain, di antara dua bilangan rasional mana pun selalu ada bilangan rasional lain. Bahkan berlaku versi yang lebih kuat: di antara dua bilangan rasional mana pun terdapat tak hingga banyaknya bilangan rasional lain.
• Akibat sifat sebelumnya, tidak ada bilangan rasional positif terkecil (dan tidak ada bilangan rasional negatif terbesar). Hal ini dapat ditunjukkan dengan bukti dengan kontradiksi. Misalkan m adalah bilangan rasional positif terkecil. Maka tidak mungkin ada bilangan rasional positif yang lebih kecil. Namun, 0 < m, sehingga menurut sifat sebelumnya ada bilangan rasional s yang memenuhi 0 < s < m. Kita menemukan bilangan s yang lebih besar daripada nol (positif) dan lebih kecil daripada m. Hal ini bertentangan dengan pengandaian bahwa m adalah bilangan rasional positif terkecil.

Operasi pada bilangan rasional

Semua operasi dasar dijelaskan dalam artikel tentang pecahan.

Mengubah desimal berulang menjadi pecahan

Karena desimal berulang adalah bilangan rasional, bilangan itu pasti dapat diubah menjadi pecahan. Mari kita lihat caranya. Misalkan kita punya desimal berulang a = 0,333… Kita tulis

$$a=0,\bar{3}$$

Sekarang kita lakukan operasi ekuivalen pada persamaan seperti biasa dan mengalikan kedua ruas persamaan dengan 10:

$$10a=3,\bar{3}$$

Di ruas kanan, satu angka 3 berpindah ke tempat satuan, sedangkan di belakang koma tetap ada tak hingga banyaknya angka 3. Sekarang kita kurangkan a, yaitu 0,333…, dari persamaan ini. Dengan begitu, bagian desimal yang tak berhingga hilang.

$$9a=3$$

Langkah ini mungkin agak rumit, jadi mari kita uraikan. Kita melakukan operasi berikut:

$$\begin{array}{ccccccc}& 3& ,& 3& 3& 3& \dots \\ -& 0& ,& 3& 3& 3& \dots \\ =& 3& ,& 0& 0& 0& \dots \end{array}$$

Persamaan 9a = 3 di atas tinggal dibagi 9, dan kita memperoleh hasilnya:

$$a=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

Mari kita coba satu contoh lagi:

$$a=\mathrm{1,454}545\dots =1,\overline{45}$$

Caranya sedikit berbeda. Pada contoh sebelumnya, bagian berulangnya terdiri atas satu angka. Lebih tepatnya, bagian berulang itu bisa kita anggap sepanjang apa pun karena angka yang sama terus berulang, tetapi yang paling praktis adalah menganggapnya sepanjang satu angka. Sekarang bagian berulangnya terdiri atas dua angka. Sekali lagi, kita bisa saja menganggapnya sepanjang enam angka, tetapi itu tidak praktis. Agar seluruh bagian berulang ikut terkurangkan, kali ini kita harus mengalikan dengan 100:

$$100a=145,\overline{45}$$

Kurangkan satu a:

$$99a=144$$

Lalu bagi dengan 99:

$$a=\frac{144}{99}=\frac{16}{11}$$

Jika kamu membagi kedua bilangan ini dengan kalkulator, hasilnya 1,454545… Namun, kebanyakan kalkulator membulatkan hasilnya, jadi yang tampil bisa sedikit berbeda.

Fakta menarik tentang 0,9999…

Sebagai fakta menarik, mari kita coba mengubah desimal berulang berikut menjadi pecahan:

$$a=0,\bar{9}$$

Kalikan dengan 10:

$$10a=9,\bar{9}$$

Kurangkan a:

$$9a=9$$

Bagi dengan 9:

$$a=1$$

Ternyata kita memperoleh 1. Jadi, bilangan 0,999… sama dengan 1.

Tautan

• Wikipedia