✖

Bilangan aljabar

Bilangan yang merupakan akar suatu polinomial dengan koefisien bulat disebut bilangan aljabar. Apa artinya dalam praktik? Kita bisa mengambil bilangan apa pun dan memainkan semacam permainan matematika dengannya. Tujuan permainan ini adalah mengambil suatu bilangan x dan mengubahnya menjadi nol. Namun, kita hanya boleh memakai operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan perpangkatan, dan dalam operasi itu kita hanya boleh memakai bilangan bulat. Contoh-contoh berikut akan memperjelasnya.

Sebagai awal, ambil bilangan 42. Bagaimana mengubahnya agar diperoleh nol? Kita bisa mengurangkan bilangan bulat 42 darinya dan mendapat nol (mengalikan dengan nol tidak diperbolehkan):

42−42=0

Karena bilangan 42 berhasil kita ubah menjadi nol, 42 adalah bilangan aljabar. Itu tadi cukup mudah. Bagaimana dengan pecahan, misalnya 73? Karena kita hanya boleh memakai bilangan bulat, kita tidak boleh mengurangkan 73 dari pecahan ini untuk mendapat nol. Kita harus mencari cara lain. Pertama, pecahan ini kita kalikan dengan 3:

3⋅73=3⋅73=7

Kita memperoleh bilangan bulat, dan bilangan bulat sudah bisa kita ubah menjadi nol: kurangkan 7. Jadi, kita dapat menulis

3⋅73−7=0

dan mengatakan bahwa pecahan tujuh per tiga juga bilangan aljabar. Sekarang ambil bilangan yang lebih rumit, yaitu akar kuadrat dari 2: 2. Perkalian atau penjumlahan apa pun tidak akan membantu. Kita harus menghilangkan tanda akarnya lebih dulu. Kita kuadratkan bentuk ini:

(2)2=2

Kita memperoleh bilangan bulat yang bisa diubah menjadi nol, yaitu dengan mengurangkan 2:

(2)2−2=0

Akar kuadrat dari 2, yang merupakan bilangan irasional, juga bilangan aljabar. Sejauh ini, tampaknya setiap bilangan yang kita coba adalah bilangan aljabar. Bagaimana dengan bilangan Euler e? Bilangan ini juga irasional, sehingga representasi desimalnya tak berhingga dan tidak berulang, seperti akar kuadrat dari 2. Nilai hampirannya 2,71. Namun, berbeda dengan akar kuadrat dari 2, tidak ada cara untuk mengubahnya menjadi nol dengan operasi-operasi yang kita izinkan. Entah bilangan Euler kita jumlahkan, kalikan, atau pangkatkan, hasilnya selalu bilangan irasional lain. Karena itu, bilangan Euler bukan bilangan aljabar. Hore!

Begitu pula, bilangan pi (3,14) bukan bilangan aljabar.

Bilangan yang bukan bilangan aljabar disebut bilangan transenden.

Definisi yang lebih tepat

Jadi, untuk setiap bilangan aljabar harus ada polinomial (suku banyak) dengan koefisien bulat yang salah satu akarnya adalah bilangan aljabar tersebut. Akar polinomial adalah bilangan yang membuat nilai polinomial sama dengan nol. Jika kita kembali ke contoh-contoh di atas, untuk bilangan 42 diperoleh persamaan

x−42=0

Karena akar polinomial x − 42 adalah x = 42, bilangan 42 adalah bilangan aljabar. Untuk bilangan rasional 73, persamaannya adalah

3x−7=0

karena akar polinomial 3x − 7 adalah x=73. Terakhir, untuk akar kuadrat dari 2 diperoleh

x2−2=0

karena salah satu akar polinomial x2 − 2 adalah akar kuadrat dari 2. Untuk bilangan Euler atau bilangan pi, kita tidak bisa menyusun persamaan atau polinomial seperti itu, karena keduanya bilangan transenden, bukan bilangan aljabar.

Contoh bilangan aljabar

  • Setiap bilangan bulat juga bilangan aljabar.
  • Setiap bilangan rasional (pecahan) adalah bilangan aljabar.
  • Bilangan irasional lebih rumit. Seperti yang sudah kita lihat, sebagian bilangan irasional adalah bilangan aljabar, misalnya akar kuadrat dari 2, tetapi sebagian lagi bukan, misalnya bilangan Euler.
  • Setiap akar pangkat n dari bilangan bulat adalah bilangan aljabar.
  • Rasio emas adalah bilangan aljabar.

Tautan dan sumber