Konversi sistem bilangan

Bagaimana mengubah bilangan dari sistem bilangan desimal ke sistem lain, dan sebaliknya dari sistem lain ke sistem desimal.

Apa itu sistem bilangan

Sehari-hari kita bekerja dengan sistem bilangan desimal (basis 10). Sistem ini mempunyai sepuluh angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Ciri khas sistem desimal: jika suatu bilangan, misalnya 57, dikalikan 10, nilai tempatnya bergeser satu tingkat. Untuk menulis bilangan itu, kita memerlukan satu angka lagi: 570.

Ada juga sistem bilangan lain. Misalnya, sistem oktal (basis 8) hanya mempunyai angka 0, …, 7. Bentuk 7 + 1 dalam sistem ini sama dengan 10, karena dalam sistem oktal tidak ada angka 8. Sistem heksadesimal (basis 16) mempunyai angka 0, 1, … 14, 15. Untuk angka yang lebih besar daripada 9 biasanya dipakai huruf, sehingga angka-angka sistem heksadesimal adalah 0, …9, A, B, C, D, E, F.

Ternyata sistem bilangan lain juga kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya waktu: detik dan menit kita hitung dalam sistem seksagesimal (basis 60). Setiap saat dalam sehari dapat ditulis sebagai bilangan basis 60 yang terdiri atas tiga angka. Angka pertama menyatakan jam, angka kedua menit, dan angka ketiga detik. Jika titik dua kita pakai sebagai pemisah angka, diperoleh misalnya bilangan 14:05:59. Perhatikan bahwa jika waktu ini ditambah satu detik, hasilnya bukan 14:05:60, melainkan 14:06:00, karena 60 bukan angka yang sah dalam sistem basis 60.

Konversi dari basis 10 ke basis 2

Misalkan di kertas tertulis bilangan 70. Bilangan ini ingin kita ubah ke sistem biner (basis 2). Caranya cukup sederhana. Bilangan yang ingin diubah terus-menerus kita bagi 2 sampai hasilnya nol, sambil mencatat sisa setiap pembagian bilangan bulat. Jika bilangan ingin diubah ke sistem lain, misalnya heksadesimal, kita membagi dengan 16. Untuk basis 6, kita membagi dengan 6. Dalam praktik, langkahnya seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}70:2& =35& ⟶0(\text{sisa pembagian})\\ 35:2& =17& ⟶1\\ 17:2& =8& ⟶1\\ 8:2& =4& ⟶0\\ 4:2& =2& ⟶0\\ 2:2& =1& ⟶0\\ 1:2& =0& ⟶1\end{array}$$

Bilangan biner yang dicari tersusun dari sisa-sisa pembagian. Namun, sisa dibaca bukan dari atas, melainkan dari bawah. Jadi, bilangan 70 dalam sistem biner adalah 1000110.

Konversi dari basis 2 ke basis 10

Konversi ke arah sebaliknya dilakukan seperti ini. Misalkan bilangan 1100010 ingin diubah ke sistem desimal. Arah ini lebih mudah, cukup hitung jumlah berikut:

$${1100010}_2=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0$$

Setiap suku berbentuk x · 2ⁱ, dengan x angka dari bilangan biner semula dan i yang dari kanan bertambah satu demi satu. Karena yang diubah adalah bilangan 1100010, jumlahnya seperti ini:

$${1100010}_2=\boxed{\text{1}}\cdot 2^6+\boxed{\text{1}}\cdot 2^5+\boxed{\text{0}}\cdot 2^4+\boxed{\text{0}}\cdot 2^3+\boxed{\text{0}}\cdot 2^2+\boxed{\text{1}}\cdot 2^1+\boxed{\text{0}}\cdot 2^0$$

Bilangan 1100010 terdiri atas tujuh angka, sehingga pangkat dari 2 berturut-turut adalah 6, 5, …, 1, 0. Setelah dipangkatkan dan dikalikan, diperoleh:

$${1100010}_2=64+32+2=98.$$

Mengapa cara ini berhasil?

Hal ini dapat kita tunjukkan pada sistem desimal. Apa sebenarnya arti angka-angka dalam suatu bilangan, misalnya dalam bilangan 7.384? Angka 4 menyatakan banyaknya satuan, angka 8 banyaknya puluhan, angka 3 banyaknya ratusan, dan angka 7 banyaknya ribuan. Jadi, dapat ditulis

$$7.384=7\cdot 1.000+3\cdot 100+8\cdot 10+4\cdot 1$$

Bentuk ini dapat diubah lagi supaya tidak memakai bilangan 1.000, 100, 10, dan 1, tetapi selalu suatu perpangkatan sepuluh. Karena 10⁰ = 1, 10¹ = 10, dan seterusnya, dapat ditulis

$$7.384=7\cdot {10}^3+3\cdot {10}^2+8\cdot {10}^1+4\cdot {10}^0$$

Setiap bilangan dalam sistem desimal dapat dinyatakan dengan cara yang sama. Setiap sukunya berbentuk x · 10ⁱ, dengan x angka dari 0 sampai 9; banyaknya angka ini sepuluh. Nilai i adalah suatu bilangan bulat tak negatif yang menyatakan nilai tempat. Jika i = 0, suku tersebut menyatakan satuan. Jika i = 2, suku tersebut menyatakan ratusan (karena 10² = 100).

Sekarang coba kita ubah bilangan 7.348 dari sistem desimal ke… sistem desimal. Nanti akan terlihat gunanya. Bilangan 7.348 kita bagi dengan 10:

$$\begin{array}{rcl}7.348:10& =734& ⟶8(\text{sisa pembagian})\\ 734:10& =73& ⟶4\\ 73:10& =7& ⟶3\\ 7:10& =0& ⟶7\end{array}$$

Jika sisa-sisanya dibaca dari bawah, diperoleh 7.348, yaitu bilangan semula yang kita coba ubah ke… sistem yang sama.

Sistem biner dapat dijelaskan dengan cara yang persis sama. Semua sukunya berbentuk x · 2ⁱ, dengan x angka 0 atau 1. Nilai i kembali menyatakan nilai tempat. Pembagian berulang dengan 10 menghasilkan angka-angka pada setiap nilai tempat dalam sistem desimal. Dengan cara yang sama, pembagian berulang dengan 2 menghasilkan angka-angka pada setiap nilai tempat dalam sistem biner.

Perhatikan juga bahwa jika suatu bilangan dibagi 10, sisanya selalu terletak pada interval [0, 9]. Jika bilangan dibagi 2, sisanya 0 atau 1.

Konversi ke sistem lain

Cara konversi dari sistem desimal ke sistem biner tadi begitu umum sehingga dapat dipakai juga untuk sistem lain. Jika bilangan 185 ingin diubah ke sistem heksadesimal, kita cukup membagi dengan 16:

$$\begin{array}{rcl}185:16& =11& ⟶9(\text{sisa pembagian})\\ 11:16& =0& ⟶11\end{array}$$

Dalam sistem basis 16, bilangan 185 berbentuk (11, 9). Untuk “angka” di atas 9 biasanya dipakai huruf, yaitu 10 = A, 11 = B, 12 = C, … Jadi, dapat ditulis bahwa bilangan 185 dalam sistem basis 16 adalah B9.

Dengan cara serupa, bilangan B9 dapat diubah dari sistem basis 16 ke sistem desimal.

$$B{9}_{16}=11\cdot {16}^1+9\cdot {16}^0=11\cdot 16+9=185$$