✖

Melengkapkan kuadrat sempurna

Dengan metode melengkapkan kuadrat sempurna, fungsi kuadrat ax2 + bx + c dapat dinyatakan dalam bentuk (x + m)2 + n.

Algoritma melengkapkan kuadrat sempurna

Algoritma ini memakai rumus kuadrat jumlah dua suku yang sudah kita kenal:

(a+b)2=a2+2ab+b2

Langkah-langkahnya sebagai berikut. Untuk sementara, misalkan a = 1. Bayangkan kita mempunyai fungsi kuadrat f(x) = x2 + 6x + 1 dan ingin mengubahnya ke bentuk (x + m)2 + n. Pertama, kita tentukan nilai di dalam tanda kurung: (x + m)2. Bilangan berapa yang harus disubstitusikan untuk m? Menurut rumus, harus berlaku (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. Fungsi f memuat x2, itu sudah sesuai. Namun, sebagai suku berderajat satu kita mempunyai 6x. Nilai m berapa yang harus dipilih agar 6x = 2mx? Jelas harus m = b/2 = 6/2 = 3. Jadi, untuk m selalu kita ambil setengah dari nilai b pada fungsi kuadrat.

Kita peroleh bentuk (x + 3)2 + n. Tinggal menentukan bilangan n. Kita sudah tahu bahwa (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. Bagian x2 + 2mx memang kita inginkan, tetapi suku m2 berlebih, karena dalam fungsi f tidak ada padanannya. Karena itu, dari hasil yang ada kita kurangkan m2. Kita peroleh bentuk (x + m)2 − m2, yang setelah dijabarkan sama dengan x2 + 2mx + m2 − m2. Setelah pengurangan, tinggal x2 + 2mx.

Namun, fungsi f masih mempunyai konstanta c. Konstanta ini cukup kita tambahkan. Kita peroleh bentuk (x + m)2 − m2 + c, setelah dijabarkan x2 + 2mx + m2 − m2 + c, dan setelah disederhanakan x2 + 2mx + c. Karena m = b/2, bentuk ini sama dengan x2 + bx + c. Jadi, jika bentuk (x + m)2 − m2 + c dijabarkan, kita memperoleh kembali fungsi semula, berarti perhitungan kita benar. (Sekali lagi, a = 1, jadi tidak ada yang hilang.)

Untuk fungsi contoh f, kita peroleh bentuk kuadrat sempurna (x + 3)2 − 9 + 1 = (x + 3)2 − 8. Kita bisa mencoba menjabarkannya kembali:

(x+3)2−8=x2+6x+9−8=x2+6x+1

Metode melengkapkan kuadrat sempurna dipakai, misalnya, ketika kamu ingin menggambar grafik fungsi kuadrat.

Jika a ≠ 1

Jika fungsinya tidak memenuhi a = 1, kita keluarkan faktor a dari seluruh fungsi, lalu kita lanjutkan dengan cara yang sudah kita kenal. Contoh:

2x2+16x−12=0

Dari seluruh bentuk kita keluarkan faktor 2:

2⋅(x2+8x−6)=0

Bentuk di dalam tanda kurung sudah bisa kita ubah menjadi kuadrat sempurna.

x2+8x−6=(x+4)2−16−6=(x+4)2−22

Hasil ini kita substitusikan ke persamaan sebelumnya, sehingga diperoleh:

2⋅(x2+8x−6)=2((x+4)2−22)=2(x+4)2−44