Interval

Interval banyak dipakai dalam matematika dan muncul di berbagai definisi. Interval adalah himpunan titik yang dibatasi oleh dua titik ujung. Selain itu, kita membedakan interval terbuka dan interval tertutup.

Penjelasan dasar

Interval juga kita pakai dalam percakapan sehari-hari, misalnya “karena warna matamu tidak sesuai aturan, Uni Eropa bisa mendendamu antara sepuluh dan dua puluh juta rupiah”. Dalam contoh ini dipakai kata “antara”, tetapi secara matematis yang dimaksud adalah interval. Namun, sekarang muncul pertanyaan yang menjebak: bisakah kamu didenda tepat sepuluh juta rupiah, atau nilai ujung rentang itu tidak termasuk? Seberapa halus besar denda boleh dipilih? Bolehkah dendanya Rp18.541.973? Atau hanya boleh per seratus ribu, yaitu Rp18.500.000 atau Rp18.600.000?

Semua ini diselesaikan oleh penulisan matematis. Di dalamnya kita harus menyatakan dua hal penting: himpunan apa yang kita pakai (dalam konteks contoh tadi: ratusan ribu? jutaan? satuan rupiah?) dan apakah titik-titik ujung termasuk dalam interval (bisakah dendanya tepat sepuluh atau dua puluh juta?).

Kabar baiknya, dalam sebagian besar kasus di matematika, interval yang kita pakai adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan real. Jadi, jika kamu menemukan interval tanpa keterangan himpunannya, yang dimaksud pasti bilangan real.

Himpunan dasarnya sudah ada. Sekarang, bagaimana menandai apakah titik ujung ikut diperhitungkan? Interval ditulis dengan tanda kurung. Kurung biasa menandakan bahwa titik ujung tersebut tidak termasuk dalam interval, sedangkan kurung siku menandakan bahwa titik ujung termasuk. Inilah yang disebut terbuka dan tertutup. Jika titik ujung termasuk dalam interval, intervalnya tertutup. Jika tidak termasuk, intervalnya terbuka.

Contoh

Berikut beberapa contoh (semuanya dalam himpunan bilangan real, kecuali disebutkan lain):

• [1, 2]   Interval tertutup dari 1 sampai 2. Interval ini memuat semua bilangan real antara 1 dan 2, termasuk 1 dan 2.
• (1, 2)   Interval terbuka dari 1 sampai 2. Interval ini memuat semua bilangan real antara 1 dan 2, tetapi bilangan 1 dan 2 sendiri tidak termasuk.
• [0, 1)   Interval ini tertutup di kiri dan terbuka di kanan. Interval ini memuat semua bilangan antara 0 dan 1, termasuk 0, tetapi 1 tidak termasuk.
• (p, q]   Interval ini terbuka di kiri dan tertutup di kanan. Interval ini memuat semua bilangan antara p dan q, termasuk q, tetapi tidak termasuk p.
• [0, ∞)   Interval ini tertutup di kiri dan terbuka di kanan. Jika intervalmu memuat tak hingga, pakailah interval terbuka pada sisi tersebut. Tak hingga tidak mempunyai titik ujung yang berhingga, jadi interval tertutup di sisi itu tidak bermakna.
• [1, 5] ⊂ ℕ   Di sini ada perubahan: kita tidak bekerja dengan himpunan bilangan real, tetapi dengan himpunan bilangan asli. Interval ini tertutup di kedua sisi, sehingga memuat tepat lima bilangan: 1, 2, 3, 4, dan 5.
• (1, 5] ⊂ ℕ   Sama seperti sebelumnya, hanya saja interval ini terbuka di kiri, sehingga 1 tidak termasuk. Daftar semua anggota interval ini adalah 2, 3, 4, dan 5.

Interval sebagai himpunan

Seperti yang terlihat, interval tidak lain adalah himpunan bagian dari himpunan tempat interval itu didefinisikan. Karena itu, kita bisa memperlakukan interval sebagai himpunan dan melakukan operasi himpunan padanya. Misalnya, gabungan bisa seperti ini:

$$[0,5]\cup [5,10]=[0,10]$$

Hati-hati dengan interval terbuka. Untuk interval terbuka, kesamaan ini tidak berlaku, karena 5 tidak termasuk dalam interval hasilnya:

$$(0,5)\cup (5,10)\ne (0,10)$$

Penulisan yang benar, misalnya, seperti ini:

$$(0,5)\cup (5,10)=(0,10)-\{5\}$$

Kapan memakai interval terbuka

Perbedaan antara interval terbuka dan interval tertutup harus dipahami. Contoh umum pemakaian interval terbuka adalah daerah asal fungsi logaritma. Logaritma bisa dipakai untuk bilangan real positif apa pun. Artinya, logaritma tidak boleh dipakai untuk bilangan negatif, dan juga tidak untuk nol. Bagaimana kita menuliskannya?

$$D_{\ln }=(0,\mathrm{\infty })$$

Penulisan ini berarti bahwa logaritma boleh dipakai untuk bilangan positif sekecil apa pun, tetapi tidak untuk nol. Jadi, misalnya bilangan 1 termasuk dalam interval ini, demikian juga 0,001, 0,0000000001, atau 10⁻⁶⁶⁶. Namun, nol tidak termasuk. Dengan cara serupa, kita bisa menuliskan daerah asal fungsi berbentuk pecahan, misalnya fungsi sederhana f(x) = 1/x.

$$D_f=(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,\mathrm{\infty })$$

Penulisan ini menyatakan himpunan bilangan real tanpa nol. Pada kedua interval, nol tidak berada di ujung yang tertutup, jadi gabungannya juga tidak memuat nol. Namun, kita boleh memakai bilangan positif sekecil apa pun atau bilangan negatif sebesar apa pun (pada bilangan negatif, -0,001 lebih besar daripada -0,1, karena itu kita katakan sebesar apa pun, bukan sekecil apa pun).

Tafsiran geometris

Interval biasanya digambarkan pada garis bilangan sebagai ruas garis. Titik ujungnya digambar sesuai dengan apakah interval itu tertutup atau terbuka. Jika intervalnya tertutup, titik ujung digambar sebagai bulatan penuh. Jika terbuka, titik ujung digambar sebagai bulatan kosong, hanya garis tepinya saja, yaitu sebuah lingkaran.

Gambar berikut menunjukkan tiga interval, masing-masing dari 2 sampai 6, tetapi berbeda dalam hal tertutup atau terbukanya. Berturut-turut, intervalnya adalah: [2, 6], (2, 6], (2, 6).