Bilangan kompleks

Bilangan kompleks adalah perluasan bilangan real. Dalam himpunan bilangan real, kita dapat melakukan sebagian besar operasi biasa, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian (kecuali pembagian dengan nol). Dalam bilangan real, kita juga dapat menarik akar kuadrat, tetapi hanya dari bilangan nonnegatif. Hal ini merupakan celah, misalnya ketika kita menyelesaikan persamaan kuadrat dan diskriminannya negatif. Celah inilah yang ditutup oleh bilangan kompleks.

Apa itu bilangan kompleks

Bilangan kompleks berbeda dari bilangan biasa terutama karena terdiri atas dua bagian, yaitu bagian real dan bagian imajiner. Bilangan kompleks adalah pasangan berurutan bilangan (x, y), dengan x sebagai bagian real dan y sebagai bagian imajiner. Jika bagian realnya nol, bilangan tersebut disebut bilangan imajiner murni. Bilangan x dan y sendiri adalah bilangan real.

Himpunan bilangan kompleks dilambangkan dengan huruf kapital C: ℂ.

Kesamaan dua bilangan kompleks: berbeda dengan bilangan biasa, bilangan kompleks terdiri atas dua komponen. Jadi, dua bilangan kompleks sama jika kedua komponennya sama. Karena itu, bilangan-bilangan kompleks berikut saling berbeda: (2, 3) ≠ (0, 3) ≠ (2, 0). Bilangan kompleks z₁ = (1, 2) dan z₂ = (1, 2) sama: z₁ = z₂.

Bentuk aljabar dan satuan imajiner

Bilangan kompleks lebih sering ditulis dalam bentuk aljabar, yang tampak sebagai berikut. Bilangan kompleks (x, y) memiliki bentuk aljabar x + yi, dengan i disebut satuan imajiner. Untuk kuadrat satuan imajiner berlaku hubungan yang sangat penting:

$$i^2=-1$$

Persamaan ini akan sering dipakai, begitu pula pangkat-pangkat lainnya. Pangkat yang lebih tinggi dapat dihitung dengan cara biasa. Misalnya, jika kita ingin menyederhanakan i³, menurut aturan bilangan berpangkat bentuk ini dapat diuraikan menjadi i² · i. Kita sudah tahu bahwa i² sama dengan minus satu. Faktor i yang kedua tidak dapat diuraikan lagi, jadi diperoleh i³ = −i.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

Begitu pula untuk i⁴. Bentuk ini dapat diuraikan menjadi i² · i², dengan i² = −1, sehingga diperoleh −1 · − 1 = 1.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

Jadi, i⁴ = 1. Fakta ini berguna ketika kita menghitung pangkat satuan imajiner yang lebih tinggi lagi. Misalnya, untuk menghitung i⁷, kita dapat menguraikannya menjadi i⁴ · i³. Kita tahu bahwa i⁴ = 1, sehingga diperoleh 1 · i³. Kita juga tahu bahwa i³ = −i. Hasilnya: 1 · (−i) = −i.

Penjumlahan dan perkalian

Bilangan kompleks dapat dijumlahkan dan dikalikan. Pada penjumlahan dua bilangan kompleks z₁ dan z₂, kita cukup menjumlahkan bagian real dengan bagian real dan bagian imajiner dengan bagian imajiner:

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Contoh: z₁ = 3 + 7i dan z₂ = 5 + 8i. Jumlahnya adalah z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

Hasil kali dua bilangan kompleks sedikit lebih rumit, tetapi dapat dihitung seperti perkalian bentuk dalam kurung biasa. Rumus dasarnya sebagai berikut:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Bagaimana rumus ini diperoleh? Mari kita kalikan z₁ · z₂ seperti mengalikan bentuk dalam kurung biasa. Diperoleh:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

Karena i² = −1, setelah suku terakhir disederhanakan diperoleh:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

Sekarang tinggal mengelompokkan suku-suku tanpa satuan imajiner dan suku-suku yang memuatnya:

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Contoh. Mari kita kalikan bilangan 5 + 6i dan 4 + 7i. Diperoleh:

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Lawan, kebalikan, dan sekawan bilangan kompleks

• Lawan dari bilangan kompleks x + yi adalah −x − yi. Seperti pada bilangan real, lawan diperoleh dengan mengalikan bilangan kompleks tersebut dengan minus satu. Contoh: lawan dari 2 + 7i adalah −2 − 7i. Lawan dari −5 + 8i adalah 5 − 8i, dan seterusnya.

• Kebalikan dari bilangan kompleks x + yi adalah $\frac{1}{x+yi}$. Jadi, kebalikan dari 4 − 2i adalah $\frac{1}{4-2i}$.

• Sekawan (konjugat) dari bilangan x + yi adalah x − yi. Sekawan biasanya dilambangkan dengan garis di atas, seperti ini: $\bar{z}$, atau dengan tanda bintang: z*. Bilangan ini adalah sekawan dari bilangan kompleks z. Sekawan dari 2 + 9i adalah 2 − 9i.

Pengurangan dan pembagian

Setelah lawan dan kebalikan didefinisikan, kita juga dapat mendefinisikan operasi pengurangan dan pembagian. Untuk mengurangkan dua bilangan kompleks, z₁ − z₂, kita menjumlahkan z₁ dengan lawan dari z₂. Dalam praktik, diperoleh rumus sederhana:

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

Begitu pula, pembagian z₁ / z₂ diubah menjadi perkalian z₁ · z₂′, dengan z₂′ adalah kebalikan dari z₂.

Modulus

Modulus bilangan kompleks z dihitung dengan rumus:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(Bilangan z yang bergaris di dalam akar kuadrat adalah sekawan dari z.) Makna rumus ini terlihat jelas pada representasi geometris bilangan kompleks.

Setiap bilangan kompleks yang modulusnya sama dengan satu disebut bilangan kompleks dengan modulus 1. Contoh bilangan kompleks dengan modulus 1: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Sifat-sifat modulus:

• Modulus bilangan kompleks adalah bilangan real.
• |z| ≥ 0
• |z| = |−z| = |z*|, dengan z* adalah bilangan sekawannya.