✖

Tak hingga

Tak hingga adalah konsep abstrak yang pada dasarnya tidak dapat dibayangkan. Tak hingga tidak mempunyai ujung, dan dari situlah namanya berasal. Tak hingga secara umum juga tidak mempunyai awal (tetapi kita bisa membatasinya, misalnya sinar garis juga tak hingga panjangnya, tetapi mempunyai titik pangkal). Tak hingga biasanya dilambangkan dengan “angka 8 tidur”, yaitu ∞.

Berhitung dengan tak hingga

Lambang angka 8 tidur

Dalam beberapa hal, tak hingga mirip dengan nol. Nol juga istimewa dalam banyak hal dan mempunyai aturan khusus. Misalnya, kita tidak boleh membagi dengan nol, dan hal itu mungkin sudah diketahui setiap anak kecil (omong-omong, kamu tahu lelucon ini? Apa alasan terbaik kalau kamu tidak mengerjakan PR matematika? “Bu Guru, saya tidak sengaja membagi dengan nol, lalu buku tulis saya terbakar…” ;o)).

Sama seperti bilangan apa pun dikali nol hasilnya nol, bilangan positif apa pun dikali tak hingga, atau bilangan apa pun ditambah tak hingga, hasilnya tak hingga. Jika kamu mengurangkan bilangan sebesar apa pun dari tak hingga, hasilnya tetap tak hingga. Begitu pula jika kamu mencoba membagi tak hingga dengan suatu bilangan positif. Tak hingga begitu besar sehingga walaupun setiap detik kamu mengurangkan jutaan, yang tersisa tetap tak hingga. Kadang hal ini agak sulit dipahami. Misalnya, perhatikan persamaan kecil ini: ∞ + 1 = ∞. Benar atau salah?

Logika kita mengatakan bahwa ruas kiri lebih besar: jika tak hingga ditambah satu, seluruh bentuk itu pasti lebih besar daripada tak hingga saja. Ternyata tidak :-). Seperti sudah dikatakan, tak hingga ditambah apa pun hasilnya tak hingga. Jadi, tak hingga ditambah satu sama dengan tak hingga, dan tak hingga sama dengan tak hingga. Persamaan itu benar.

Ada juga jalan lain, yaitu melalui limit. Ambil pecahan 1/x dan hitung limit kanannya untuk x→0⁺, dengan anggapan buku tulis kita tidak terbakar. Limit ini sama dengan tak hingga. Jika bentuk ini ditambah satu, diperoleh bentuk (1+x)/x, dan limitnya untuk x→0⁺ juga tak hingga.

Keadaan menjadi seru jika kita mulai menggabungkan beberapa tak hingga. Misalnya, berapa hasil tak hingga dikurangi tak hingga? Logika kita mengatakan bahwa kita mengurangkan dua bilangan yang sama besar, jadi hasilnya nol. Namun, tadi juga dikatakan bahwa jika suatu bilangan dikurangkan dari tak hingga, hasilnya tetap tak hingga. Sebaliknya, jika tak hingga dikurangkan dari suatu bilangan, hasilnya negatif tak hingga. Lalu bagaimana? Secara teori, semua hasil itu mungkin. Matematika menyatakan bahwa bentuk ∞ −∞ tidak sama dengan nilai tertentu: bentuk ini tak terdefinisi, yaitu bentuk tak tentu. Hal ini mirip dengan mencoba membagi dengan nol: tidak bermakna. Jika kamu menemukan bentuk tak tentu seperti ini, bentuk itu harus diubah dengan suatu cara (untuk beberapa jenis bentuk tak tentu dapat dipakai, misalnya, aturan L'Hôpital [dibaca “lopital”]).

Bentuk tak tentu lainnya:

  • ∞ − ∞
  • ∞/∞
  • 0/0
  • 0 · ∞
  • 00
  • ∞0
  • 1∞

Omong-omong, aturan tanda dasar tetap berlaku, misalnya −1 · ∞ sama dengan negatif tak hingga.

Mau pusing?

Kalau begitu, pelajarilah teori himpunan dan hitung himpunan mana yang lebih besar. Misalnya, lebih banyak bilangan genap atau bilangan ganjil? Bilangan genap atau bilangan asli? Bilangan asli atau bilangan bulat? Bilangan genap atau bilangan bulat? Bilangan asli atau bilangan rasional? Jawabannya: semuanya sama besar. Walaupun terasa aneh (bilangan bulat seharusnya lebih banyak daripada bilangan ganjil, bukan?), himpunan-himpunan itu sama besar. Sebaliknya, himpunan bilangan real lebih besar daripada semua himpunan tadi. Benar-benar membingungkan, ya? ;-)