Sifat komutatif

Sifat komutatif (pertukaran) adalah sifat yang dimiliki operasi seperti penjumlahan. Perhatikan bahwa pada penjumlahan urutan tidak berpengaruh, jadi 3 + 5 sama dengan 5 + 3. Untuk sembarang dua bilangan real, hasil a + b tetap sama walaupun bilangan yang dijumlahkan ditukar: b + a. Jika suatu operasi memenuhi syarat ini, kita katakan operasi itu bersifat komutatif.

Contoh lain operasi yang bersifat komutatif adalah perkalian, karena 2 · 6 hasilnya sama dengan 6 · 2, dan hal yang sama berlaku untuk dua bilangan a, b apa pun:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Contoh operasi yang tidak bersifat komutatif adalah pengurangan, karena 7 − 4 berbeda dengan 4 − 7. Pada yang pertama kita memperoleh 3, pada yang kedua −3. Contoh lainnya adalah pembagian, karena 2 / 5 berbeda dengan 5 / 2.

Namun, perhatikan juga sifat-sifat lain dari operasi, misalnya urutan operasi hitung. Bentuk 1 + 2 · 3 tidak boleh kita anggap sama dengan 2 + 1 · 3, karena perkalian didahulukan daripada penjumlahan. Tanda kurung dapat membantu: bentuk 1 + 2 · 3 sama dengan 1 + (2 · 3). Jika ingin memakai sifat komutatif penjumlahan, kita boleh melakukannya, tetapi seluruh isi tanda kurung harus ikut dipindahkan: 1 + (2 · 3) sama dengan (2 · 3) + 1, dan ini sama dengan (3 · 2) + 1 jika kita memakai juga sifat komutatif perkalian.

Operasi himpunan dan sifat komutatif

Tidak hanya operasi pada bilangan yang bisa bersifat komutatif, tetapi juga, misalnya, operasi pada himpunan. Contohnya, irisan himpunan A dan B adalah operasi yang bersifat komutatif. Irisan dua himpunan adalah “anggota yang terdapat pada kedua himpunan”, sehingga

$$A\cap B=B\cap A$$

Hal yang sama berlaku untuk gabungan himpunan A dan B, yang hasilnya adalah “anggota yang terdapat pada sedikitnya satu dari kedua himpunan”, sehingga:

$$A\cup B=B\cup A$$

Sebaliknya, selisih himpunan tidak bersifat komutatif.

Vektor

Operasi lain yang bersifat komutatif dapat ditemukan di antara operasi pada vektor, yaitu penjumlahan vektor. Secara umum, penjumlahan biasanya memang bersifat komutatif. Dalam hal ini, jika ada dua vektor $\overrightarrow{u}$ dan $\overrightarrow{v}$, berlaku

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

Gambar berikut menunjukkannya secara grafis:

Jumlah $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ digambarkan oleh “jalur atas”: pertama kita terapkan vektor merah $\overrightarrow{u}$, baru kemudian vektor biru $\overrightarrow{v}$. Jumlah $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ digambarkan oleh “jalur bawah”: pertama kita mengikuti vektor biru $\overrightarrow{v}$, lalu vektor merah $\overrightarrow{u}$. Hasilnya sama: kedua jalur berakhir di titik yang sama.

Kamu bisa membayangkannya seperti ini: kamu berangkat dari suatu tempat, berjalan 50 m ke utara, lalu 20 m ke barat. Jika kamu lebih dulu berjalan 20 m ke barat, lalu 50 m ke utara, kamu tiba di tempat yang sama. Jadi, berjalan seperti ini bersifat komutatif.

Logika

Operator logika “dan” (konjungsi) dan “atau” (disjungsi) juga bersifat komutatif. Artinya, pernyataan “5 adalah bilangan ganjil dan bilangan prima” mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan “5 adalah bilangan prima dan bilangan ganjil”. Hal yang sama berlaku untuk disjungsi: “6 adalah bilangan prima atau bilangan genap” mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan “6 adalah bilangan genap atau bilangan prima”.

Namun, implikasi tidak bersifat komutatif. Pernyataan “jika saya memenangkan undian, saya akan kaya” tidak sama dengan “jika saya kaya, saya akan memenangkan undian”.