Triangolo di Tartaglia

Il triangolo di Tartaglia (in molti paesi noto come triangolo di Pascal) è formato da numeri, e vale questa regola: un numero che si trova sotto altri due è uguale alla loro somma. Costruiamo un triangolo di Tartaglia e poi vediamo a che cosa può servire.

Come costruire il triangolo di Tartaglia

Ai lati del nostro triangolo scriviamo solo degli uno, mentre l’interno per ora lo riempiamo di punti interrogativi:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Ora calcoliamo il primo punto interrogativo: sommiamo i due numeri sopra di esso e otteniamo 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

In modo analogo calcoliamo i punti interrogativi della riga successiva. Prima otteniamo 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

E poi otteniamo 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Continuiamo così e con ogni nuova riga otteniamo un’ulteriore parte del triangolo di Tartaglia:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Il triangolo di Tartaglia è naturalmente infinito: possiamo costruire sempre nuove righe. In ogni caso, però, ai bordi ci sono sempre degli uno e all’interno del triangolo ci sono numeri ottenuti come somma dei numeri che stanno sopra. Per esempio, il numero 15 nell’ultima riga è ottenuto come somma dei numeri 5 e 10 che si trovano sopra di esso.

Proprietà fondamentali del triangolo di Tartaglia

La prima proprietà fondamentale l’abbiamo già detta: ai lati del triangolo ci sono sempre degli uno:

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

Nella «seconda riga» ci sono sempre tutti i numeri naturali (da 1 in poi):

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Hai notato, tra l’altro, che il triangolo di Tartaglia è simmetrico? Ogni riga è uguale sia che la si legga da sinistra a destra, sia da destra a sinistra.

Numeri triangolari

Nella terza riga abbiamo i numeri 1, 3, 6, 10, 15…

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Che cosa hanno di interessante? Questi numeri si chiamano numeri triangolari. Immagina di avere alcuni cerchi e di volerli disporre a forma di triangolo. Quanti cerchi ti servirebbero? Guarda la figura seguente:

Vediamo che per un triangolo di lato 1 serve esattamente un cerchio. Per un lato di lunghezza due servono tre cerchi, per lunghezza tre servono sei cerchi e per lunghezza quattro servono dieci cerchi. Il numero di cerchi necessari è sempre un numero triangolare, che troviamo nel triangolo di Tartaglia.

Somma delle righe

Che cosa succede se proviamo a sommare ogni riga del triangolo di Tartaglia?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

Vediamo che la somma di ogni riga è il doppio della somma della riga precedente. Tutte le somme sono quindi uguali a una potenza di due. Se chiamiamo la riga più in alto riga zero, possiamo scrivere che la somma della riga n-esima del triangolo di Tartaglia è uguale a 2ⁿ.

Numeri primi

Chiamiamo la riga più in alto del triangolo riga zero. Allora, se scegliamo una riga n-esima in cui n è un numero primo, tutti i numeri di questa riga (tranne gli uno ai bordi) sono divisibili proprio per n.

Come esempio prendiamo n = 5. Il numero cinque è un numero primo. La quinta riga si presenta così:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Ciascuno dei numeri evidenziati è divisibile per cinque.

Binomio di Newton

Conosci sicuramente le formule per calcolare (a + b)² o (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Possiamo notare che i coefficienti dei singoli termini corrispondono ai numeri del triangolo di Tartaglia. Guardiamo per esempio l’espressione

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Per prima cosa, accanto ai termini a³ e b³ scriviamo la moltiplicazione per uno, per renderlo più evidente:

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

A questo punto vediamo che i coefficienti per cui moltiplichiamo i termini sono gli stessi della terza riga del triangolo di Tartaglia (se la riga più in alto è contata come riga zero):

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

A questo fenomeno è però dedicato un articolo a parte sul binomio di Newton.