Vettori

Un vettore rappresenta una grandezza che, oltre al modulo, ha anche una direzione e un verso. Per questo si distingue da un semplice numero, detto anche scalare, che ha soltanto un valore.

Segmento orientato

Consideriamo nel piano due punti distinti A, B. Tra questi punti possiamo tracciare un segmento. Di solito lo indichiamo con AB, e in questo caso l’ordine dei punti non conta: il segmento AB coincide esattamente con il segmento BA.

Non sempre ci basta, e per questo introduciamo il concetto di segmento orientato, in cui distinguiamo il primo estremo (punto iniziale) e il secondo estremo (punto finale). Il segmento orientato AB ha il punto iniziale in A e il punto finale in B. Nelle figure lo disegniamo con una freccia, mentre nel testo lo scriviamo con una freccia sopra i punti: $\overrightarrow{AB}$. Un esempio:

In blu è disegnato il segmento AB, in rosso il segmento orientato $\overrightarrow{CD}$. Se per un segmento orientato $\overrightarrow{AB}$ vale A = B, lo chiamiamo segmento orientato nullo. Ha lo stesso punto iniziale e finale, e viene quasi da dire che non sia nemmeno un segmento, visto che in realtà è soltanto un punto.

Il modulo di un segmento orientato è uguale alla lunghezza del segmento ordinario. Vale $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$.

Direzione e verso di un segmento orientato

Osserva i due segmenti orientati $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{CD}$:

A prima vista si nota che i due segmenti orientati hanno la stessa direzione e lo stesso verso. Potremmo definire con rigore i concetti di «direzione» e «verso», ma preferiamo restare all’idea intuitiva. In parole semplici, due segmenti orientati hanno la stessa direzione se sono paralleli, e hanno anche lo stesso verso se uno non punta dalla parte opposta all’altro. Queste sono tutte coppie di segmenti orientati che hanno la stessa direzione e lo stesso verso:

Gli ultimi segmenti, quelli verdi, sono i segmenti orientati $\overrightarrow{IJ}$ e $\overrightarrow{IK}$. Ecco ora alcune coppie di segmenti che non hanno la stessa direzione o lo stesso verso:

Che cos’è un vettore

Torniamo alla figura con i due segmenti orientati che hanno la stessa direzione e lo stesso verso:

Vediamo che questi segmenti orientati hanno non solo la stessa direzione e lo stesso verso, ma anche lo stesso modulo. L’unica differenza è che si trovano in posizioni diverse. I segmenti orientati che hanno la stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo rappresentano uno stesso vettore.

Un vettore si può quindi disegnare nel piano (nello spazio…) in infiniti modi: basta prendere un qualsiasi segmento orientato che abbia la stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo del vettore dato. Tutti i segmenti orientati seguenti rappresentano dunque un unico vettore:

Un vettore è determinato soltanto dal suo modulo, dalla sua direzione e dal suo verso. Modulo, direzione e verso del vettore coincidono con quelli del segmento orientato che lo rappresenta. I vettori si scrivono di solito in grassetto e con la freccia, come il segmento orientato. Possiamo così avere il vettore $\overrightarrow{\mathbf{AB}}$ oppure, più brevemente, il vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Un singolo segmento orientato è poi un rappresentante del vettore (si parla anche di vettore applicato). Nella figura precedente abbiamo in tutto 7 segmenti orientati, e ciascuno è un rappresentante diverso del vettore. I segmenti orientati $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{MN}$ rappresentano lo stesso vettore, diciamo $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, ma sono due rappresentanti diversi del vettore $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Vettori paralleli

Consideriamo due vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Diciamo che questi vettori sono paralleli (si dice anche collineari) se sono paralleli i segmenti orientati che li rappresentano. I vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ non devono necessariamente avere lo stesso modulo. La direzione deve essere la stessa, il verso può essere uguale oppure opposto. Ecco alcuni esempi di vettori paralleli:

Tutti i vettori rossi sono paralleli tra loro. Del verso non ci importa: non fa differenza se puntano verso l’angolo in alto a destra o verso quello in basso a sinistra. Il vettore blu $\overrightarrow{GH}$ invece non è parallelo agli altri.

Se però due vettori paralleli hanno lo stesso verso, diciamo che sono concordi; se non hanno lo stesso verso, sono discordi. Torniamo alla figura precedente: i vettori $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{EF}$ sono concordi, i vettori $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{KL}$ sono discordi.

Coordinate dei vettori

Sappiamo già che un vettore si può rappresentare con infiniti segmenti orientati. Uno di questi segmenti ha il punto iniziale nell’origine del sistema di riferimento, cioè nel punto (0; 0) se parliamo del piano e nel punto (0; 0; 0) se parliamo dello spazio. Osserva la figura seguente:

I segmenti orientati $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{CD}$ hanno la stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo, quindi sono un unico vettore. Il segmento $\overrightarrow{CD}$ parte dall’origine del sistema di riferimento: le coordinate del punto C sono (0; 0). Lo stesso vale per la coppia di segmenti $\overrightarrow{EF}$ e $\overrightarrow{KL}$.

Se sappiamo che i segmenti $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ partono dall’origine, possiamo stabilire la convenzione di indicare questi vettori soltanto con il punto finale. Il punto iniziale è lo stesso (è l’origine del sistema di riferimento), quindi per distinguere i segmenti $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ ci basta scrivere i loro punti finali.

Diciamo che il vettore $\overrightarrow{AB}$, e quindi anche il vettore $\overrightarrow{CD}$, ha coordinate (3; 1), cioè le coordinate del punto D, il punto finale del segmento $\overrightarrow{CD}$. Il vettore $\overrightarrow{KL}$ ha invece coordinate (−1; 4), le coordinate del punto F.

Come calcolare le coordinate di un vettore

Vediamo ora il modo matematico per determinare le coordinate di un vettore. Partiamo dal fatto che conosciamo le coordinate dei punti A, B che determinano il vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Prendiamo quindi il vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ determinato dai punti A(2; 3) e B(5; 4). È il vettore rosso più in alto nella figura precedente. Come troviamo le coordinate del punto D, cioè del punto finale del segmento orientato che rappresenta il vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e parte dall’origine?

Semplicemente trasliamo l’intero segmento $\overrightarrow{AB}$ nell’origine del sistema di riferimento. Per portare il punto A nell’origine, dobbiamo spostarlo di 2 quadretti a sinistra e di 3 quadretti in basso. Lo stesso facciamo con il punto B. In altre parole: da entrambi i punti A e B sottraiamo le coordinate del punto A. In questo modo portiamo il segmento $\overrightarrow{AB}$ nella posizione in cui è disegnato il segmento $\overrightarrow{CD}$. Possiamo scrivere:

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2;3)-(2;3)& =& (0;0)\\ B-A=(5;4)-(2;3)& =& (3;1)\end{array}$$

Le coordinate del vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ sono quindi (3; 1), il punto finale del segmento orientato che ha il punto iniziale nell’origine.

In generale, se il vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ è determinato dai punti A(x₁; y₁) e B(x₂; y₂), le coordinate del vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ si trovano così:

$$B-A=(x_2-x_1;y_2-y_1)$$

Le coordinate del vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ si scrivono tra parentesi tonde, quindi le coordinate del vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ precedente si scrivono così: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(3;1)$.

Possiamo tornare ancora alla figura e calcolare le coordinate del vettore $\overrightarrow{KL}$. Le coordinate dei punti K e L sono K(−2; 1), L(−3; 5). Le coordinate del vettore saranno quindi

$$L-K=(-3;5)-(-2;1)=(-1;4)$$

Vediamo che abbiamo ottenuto correttamente le coordinate del punto F.

Come calcolare il modulo di un vettore

Ora che conosciamo le coordinate dei vettori, possiamo calcolarne facilmente il modulo. Grazie al teorema di Pitagora ricaviamo senza difficoltà che il modulo di un vettore di coordinate $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1;u_2)$ nel piano è

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

Nella figura seguente vediamo che le coordinate del vettore coincidono con le lunghezze dei lati del triangolo che abbiamo costruito e che, applicando il teorema di Pitagora, calcoliamo davvero senza fatica il modulo del vettore.

Se abbiamo il vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2;4)$, il suo modulo sarà

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

Seguono ora due esempi per esercitarti con quanto abbiamo visto.

1. Determina le coordinate del vettore u dato dai punti A(3; 7), B(−1; 0). Qui il procedimento è del tutto semplice e diretto. $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1;u_2)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   Il vettore ha quindi coordinate $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-4;-7)$

2. Sappiamo che il vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ha coordinate $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2;3)$ ed è formato dai punti A(6; 6) e B(x₁; y₁), cioè $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$. Trova le coordinate del punto B.

   Scriviamo ancora una volta la solita equazione e da essa isoliamo l’incognita:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   La seconda coordinata si trova con lo stesso procedimento:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   Il punto B ha coordinate (8; 9).