Distribuzione di frequenza

La distribuzione ci descrive l’insieme dei valori che può assumere la nostra variabile casuale.

Distribuzione di frequenza unidimensionale

La distribuzione si mostra di solito sotto forma di tabella o di grafico. Cominciamo eseguendo un esperimento. La professoressa Logaritmi insegna matematica nella 3ª C e possiamo vedere quali punteggi finali da 1 a 5 (5 è il migliore) hanno ottenuto i suoi alunni. La popolazione di questo esperimento saranno tutti gli alunni della 3ª C. In tutto sono 30. I risultati dell’esperimento li scriviamo in una tabella:

Questa tabella ci mostra quindi la distribuzione di frequenza della variabile discreta «punteggio finale di matematica». La stessa distribuzione potremmo mostrarla con un diagramma a barre, così:

Distribuzione di frequenza in sottogruppi

Nell’esempio precedente avevamo per ogni punteggio una sola colonna, che ci diceva quanti alunni avevano ottenuto quel punteggio. Possiamo suddividere ulteriormente queste frequenze in alcuni sottogruppi interessanti. Ad esempio potrebbe interessarci quale punteggio hanno ottenuto i maschi e quale le femmine. Al posto di una colonna ne introduciamo quindi due, una per i maschi e una per le femmine. Una tabella del genere mostrerebbe già una distribuzione di frequenza in sottogruppi.

Gli stessi dati in un diagramma a barre:

Frequenza relativa

A volte non ci serve conoscere il numero assoluto di alunni che hanno ottenuto un dato punteggio. Possiamo voler sapere solo quale percentuale di alunni ha ottenuto il punteggio più basso e simili. A questo serve la frequenza relativa.

Sappiamo che nella 3ª C abbiamo in tutto 30 alunni. Indichiamo questo numero con N, cioè N = 30. Per calcolare la frequenza relativa prendiamo la frequenza assoluta e la dividiamo per N. Così la frequenza relativa del punteggio 3, se non distinguiamo maschi e femmine, la troviamo dividendo 6/30, dove 6 è il numero di alunni che hanno ottenuto il punteggio 3. Il risultato è la frequenza relativa 0,2. Se vogliamo il risultato in percentuale, moltiplichiamo questo numero per cento: 0,2 · 100 = 20%. La frequenza relativa possiamo di nuovo scriverla in una tabella:

Anche la frequenza relativa possiamo mostrarla in un grafico:

Frequenza cumulata

Accanto alla colonna con la frequenza assoluta dei punteggi finali possiamo mostrare ancora un’altra colonna, con la frequenza cumulata. Osserva la tabella seguente:

Nella seconda riga abbiamo nella colonna della frequenza cumulata il valore 20. Lo abbiamo ottenuto sommando i numeri di alunni della prima e della seconda riga, cioè 7 + 13 = 20. Nella terza riga abbiamo quindi la frequenza cumulata 26, perché 7 + 13 + 6 = 26. In altre parole, sono le somme delle frequenze di tutte le righe che stanno sopra la riga attuale più il valore della riga stessa.

Nella prima riga la frequenza cumulata coincide quindi con la frequenza assoluta, nell’ultima riga la frequenza cumulata è uguale alla dimensione dell’intera popolazione (nella classe ci sono trenta alunni).

Possiamo calcolare anche le frequenze relative cumulate:

Nella prima riga abbiamo di nuovo per la frequenza relativa cumulata lo stesso valore della colonna «Frequenza relativa». Nell’ultima abbiamo 1, il che significa il 100% della popolazione.

Distribuzione di frequenza di una variabile continua

Se la variabile casuale non è discreta ma continua, di solito non si mostra in una tabella né in un diagramma a barre, ma in un normale grafico, come una funzione classica. Una variabile continua è per esempio la temperatura. Possiamo cercare la temperatura media a Praga nel mese di gennaio negli anni 1961–1990 e mostrarla in un grafico come una curva continua: