Distribution des effectifs

La distribution nous décrit l’ensemble des valeurs que peut prendre notre variable aléatoire.

Distribution des effectifs d’une seule variable

On présente en général une distribution sous forme de tableau ou de graphique. Commençons par réaliser une expérience. Mme Logarithme enseigne les mathématiques en 4ᵉ C, et nous pouvons regarder les notes que ses élèves ont obtenues sur le bulletin. Ce sont des notes sur 20. La population de cette expérience sera formée de tous les élèves de la 4ᵉ C. Ils sont 30 en tout. On reporte les résultats de l’expérience dans un tableau :

Ce tableau nous montre donc la distribution des effectifs de la variable discrète « note finale de mathématiques sur le bulletin ». On pourrait représenter la même distribution à l’aide d’un diagramme en barres, comme ceci :

Distribution des effectifs par sous-groupes

Dans l’exemple précédent, nous avions pour chaque note une seule barre, qui nous disait combien d’élèves avaient obtenu cette note. On peut encore répartir ces effectifs en sous-groupes intéressants. Par exemple, on pourrait vouloir savoir quelles notes ont obtenues les garçons et quelles notes ont obtenues les filles. Au lieu d’une seule colonne, on en met deux, une pour les garçons et une pour les filles. Un tel tableau présenterait alors la répartition des effectifs par sous-groupes.

Les mêmes données dans un diagramme en barres :

Fréquence

Parfois, on n’a pas besoin de connaître le nombre exact d’élèves qui ont obtenu telle ou telle note. On veut peut-être seulement savoir quel pourcentage d’élèves a obtenu la note la plus basse, et ainsi de suite. C’est à cela que sert la fréquence (relative).

Nous savons que la classe de 4ᵉ C compte 30 élèves en tout. Notons ce nombre N, c’est-à-dire N = 30. Pour calculer la fréquence, on prend l’effectif et on le divise par N. Ainsi, la fréquence de la note 12, si l’on ne distingue pas les garçons et les filles, s’obtient en calculant 6/30, où 6 est le nombre d’élèves qui ont eu 12 sur 20. Le résultat est la fréquence 0,2. Si l’on veut le résultat en pourcentage, on multiplie ce nombre par cent : 0,2 · 100 = 20 %. On peut là encore reporter les fréquences dans un tableau :

On peut aussi représenter la fréquence dans un graphique :

Effectif cumulé

À côté de la colonne des effectifs de chaque note, on peut ajouter une colonne supplémentaire avec l’effectif cumulé. Regarde le tableau suivant :

Sur la deuxième ligne, dans la colonne de l’effectif cumulé, on a la valeur 20. On l’a obtenue en additionnant les nombres d’élèves de la première et de la deuxième ligne, c’est-à-dire 7 + 13 = 20. Sur la troisième ligne, l’effectif cumulé est donc 26, car 7 + 13 + 6 = 26. Autrement dit, ce sont les sommes des effectifs de toutes les lignes situées au-dessus de la ligne actuelle, plus la valeur de la ligne actuelle.

Sur la première ligne, l’effectif cumulé sera donc égal à l’effectif, et sur la dernière ligne, l’effectif cumulé sera égal à la taille de toute la population (il y a trente élèves dans la classe).

On peut aussi calculer les fréquences cumulées :

Sur la première ligne, on retrouve pour la fréquence cumulée la même valeur que dans la colonne Fréquence. Sur la dernière, on a 1, ce qui représente 100 % de la population.

Distribution des effectifs d’une variable continue

Si la variable aléatoire n’est pas discrète mais continue, on ne la représente généralement ni dans un tableau ni dans un diagramme en barres, mais dans un graphique ordinaire, comme une fonction classique. Une variable continue est par exemple la température. Sur le site de l’institut météorologique tchèque, on peut chercher la température moyenne à Prague au mois de janvier pour les années 1961–1990 et la représenter dans un graphique sous forme de courbe continue :