Distribuzione di probabilità

La distribuzione di probabilità di una variabile casuale ci dice qual è la probabilità che la variabile casuale assuma proprio un dato valore.

Distribuzione di una variabile discreta

Prendiamo una variabile casuale discreta: potremmo per esempio osservare quante lattine di bibita al giorno beve Marco, il ragazzo più assetato del quartiere. Osservando Marco per un intero mese abbiamo costruito la tabella seguente:

Vediamo che all’inizio del mese Marco si controllava ancora un po’, ma poi ha cominciato a mandar giù una lattina dopo l’altra. E la settimana a partire dall’11º giorno dev’essere stata una follia. Indichiamo questa variabile casuale discreta con X. Ora ci interessa qual è la probabilità che Marco, in un giorno qualsiasi del mese, beva proprio x lattine di bibita.

Prima di calcolare la probabilità vera e propria, costruiamo un semplice diagramma delle frequenze. Cerchiamo tutti i numeri di lattine che Marco ha bevuto in qualche giorno e li riportiamo nel diagramma. Per esempio, dieci lattine Marco le ha bevute in tutto nove volte, quindi per il valore dieci lattine avremo una colonna con il valore nove:

Il diagramma si legge così: Marco ha bevuto sei lattine in tre giorni del mese.

Qual è la probabilità che Marco in un giorno abbia bevuto dieci lattine? Formalmente lo scriveremmo così: indichiamo la funzione di probabilità con P e la domanda sulle dieci lattine la scriveremmo P(X = 10). Con questa notazione ci chiediamo qual è la probabilità che la variabile casuale X assuma il valore dieci.

La probabilità sarà uguale alla frequenza relativa di quel valore. Costruiamo quindi anche il diagramma della frequenza relativa:

Ora possiamo dire che P(X = 10) è uguale a 0,3, cioè al 30%.

Probabilità statistica e probabilità matematica

Prendiamo come esempio un normale dado. Proviamo a lanciarlo 600 volte. Dal punto di vista della classica probabilità matematica abbiamo la stessa probabilità che esca l’uno, il due, …, il sei. Ogni faccia del dado ha probabilità $\frac{1}{6}$ di uscire. Dal punto di vista puramente teorico, quindi, ogni faccia dovrebbe uscire esattamente cento volte, dato che abbiamo lanciato il dado seicento volte.

Naturalmente, con ogni probabilità non andrà così. Nel nostro esperimento potremmo ottenere questi risultati:

Vediamo che la frequenza relativa, e quindi anche la probabilità, che esca l’uno è 0,175, cioè il 17,5%. È vicina alla probabilità $\frac{1}{6}$, che vale 0,16666…, ma non coincide esattamente.

Questo non significa che l’una o l’altra probabilità sia sbagliata. Costruire un dado perfettamente equilibrato non è affatto facile, e allo stesso modo può essere difficile eseguire il test stesso, in cui lanciamo il dado 600 volte.

La probabilità matematica funziona quindi in condizioni ideali, in cui lanceremmo il dado all’infinito. Più a lungo lanciassimo un dado perfettamente equilibrato, più le frequenze relative dei singoli lanci si avvicinerebbero alla probabilità matematica teorica.

Per questo distinguiamo due probabilità – quella matematica, che parte da condizioni idealizzate, e quella statistica (detta anche empirica), che calcoliamo dalle frequenze relative dei nostri dati.

Per calcolare la probabilità statistica dovremmo avere a disposizione un insieme di dati abbastanza grande. Per esempio, Marco l’abbiamo osservato soltanto per un mese, ma sarebbe molto meglio osservarlo almeno per un anno.

Distribuzione di una variabile continua

Per una variabile continua non determiniamo la probabilità in un punto, ma sempre e solo in un intervallo. La probabilità sarà uguale all’area sotto la curva, quindi per il calcolo ci servirà l’integrale. Possiamo avere un grafico di questo tipo per una variabile continua, per esempio per la misura di uno scarto in cm:

Sull’asse x abbiamo quindi i valori in cm, sull’asse y le frequenze relative. Supponiamo di aver misurato solo valori nell’intervallo [−4; 4]. La probabilità empirica di misurare uno scarto in questo intervallo è quindi 1, cioè il 100%.

Che cosa c’entra l’area? Diciamo che l’area ${\int }_{-4}^{4}p(x)$ , dove p è la funzione di probabilità, ci dà proprio quel 100%. Se ci chiedessimo qual è la probabilità empirica che il valore appartenga all’intervallo [0; 4], otterremmo questa figura:

La parte evidenziata prima corrispondeva al 100%, questa corrisponde al 50%, perché l’area è evidentemente la metà. Con precisione, esprimeremmo la probabilità statistica come rapporto

$$\frac{{\int }_0^{4}p(x)}{{\int }_{-4}^{4}p(x)}.$$

Legge dei grandi numeri

Al paragrafo precedente è legata la nota legge dei grandi numeri. In modo informale dice che, con un gran numero di prove indipendenti, la frequenza relativa (probabilità statistica) si avvicina alla probabilità matematica.

Possiamo immaginarlo di nuovo con il lancio di una moneta. Può uscire testa o croce, ogni faccia ha probabilità $\frac{1}{2}$, cioè 50%. Se lanciamo la moneta quattro volte, può uscire tre volte testa e una volta croce. Le frequenze relative sono quindi $\frac{3}{4}$ e $\frac{1}{4}$. Siamo piuttosto lontani da $\frac{1}{2}$.

Se lanciamo la moneta dieci volte in tutto, può uscire sette volte testa e tre volte croce. Le frequenze sono $\frac{7}{10}$ e $\frac{3}{10}$. Siamo ancora lontani da $\frac{1}{2}$, ma questi numeri sono comunque più vicini a un mezzo delle frequenze precedenti.

Potremmo continuare così. Se lanciassimo la moneta mille volte, potrebbe uscire 520 volte testa e 480 volte croce. Queste sono le frequenze $\frac{13}{25}$ e $\frac{12}{25}$, che si avvicinano molto a un mezzo (per farti un’idea, $\frac{13}{25}=0,52$).

Osserva che, anche se le frequenze relative sono molto più vicine a un mezzo, le frequenze assolute sono molto più lontane dalla frequenza «ideale». Quando abbiamo lanciato la moneta dieci volte, la frequenza assoluta ideale per ciascuna faccia era 5, cioè cinque volte testa e cinque volte croce. Poiché è uscita testa sette volte, la differenza è di due lanci: 7 − 5 = 2. Abbiamo ottenuto «due lanci di scarto» rispetto alla situazione ideale.

Quando però abbiamo lanciato la moneta mille volte, è uscita testa 520 volte, il che dà una differenza di 20 lanci dall’ideale, perché nel caso ideale ogni faccia sarebbe dovuta uscire 500 volte. Sembrerebbe quindi che, più lanciamo, più i risultati si allontanino.

Questo però non è un problema: la legge dei grandi numeri non afferma che all’ideale si avvicinino le frequenze assolute, ma quelle relative. E queste si avvicinano davvero. Le frequenze assolute dall’ideale forse si allontaneranno, ma quelle relative gli si avvicineranno.