Häufigkeitsverteilung

Die Verteilung beschreibt die Menge der Werte, die unsere Zufallsgröße annehmen kann.

Eindimensionale Häufigkeitsverteilung

Eine Verteilung zeigen wir typischerweise in Form einer Tabelle oder eines Diagramms. Wir beginnen damit, dass wir ein Experiment durchführen. Frau Logarithmus unterrichtet in der 8c Mathematik, wir können uns ansehen, welche Noten ihre Schüler im Zeugnis bekommen haben. Die Grundgesamtheit dieses Experiments sind alle Schüler der 8c. Es sind insgesamt 30. Die Ergebnisse des Experiments tragen wir in eine Tabelle ein:

Diese Tabelle zeigt uns also die Häufigkeitsverteilung der diskreten Variablen „Zeugnisnote in Mathematik“. Dieselbe Verteilung könnten wir mit einem Säulendiagramm so darstellen:

Gruppierte Häufigkeitsverteilung

Im vorherigen Beispiel hatten wir bei jeder Note nur eine Säule, die uns sagte, wie viele Schüler die jeweilige Note bekommen haben. Diese Häufigkeiten können wir noch in interessante Untergruppen aufteilen. Zum Beispiel könnte uns interessieren, welche Note die Jungen und welche die Mädchen bekommen haben. Statt einer Säule führen wir also zwei ein, eine für die Jungen und eine für die Mädchen. Eine solche Tabelle würde dann schon die gruppierte Häufigkeitsverteilung zeigen.

Dieselben Daten im Säulendiagramm:

Relative Häufigkeit

Manchmal brauchen wir die absolute Anzahl der Schüler, die die eine oder andere Note bekommen haben, gar nicht zu kennen. Wir wollen vielleicht nur wissen, wie viel Prozent der Schüler eine Fünf bekommen haben und Ähnliches. Dazu dient die relative Häufigkeit.

Wir wissen, dass wir in der 8c insgesamt 30 Schüler haben. Bezeichnen wir diese Anzahl mit N, also N = 30. Wenn wir die relative Häufigkeit berechnen wollen, nehmen wir die absolute Häufigkeit und teilen sie durch N. Die relative Häufigkeit der Note Befriedigend, wenn wir Jungen und Mädchen nicht unterscheiden, erhalten wir also, indem wir 6/30 rechnen, wobei 6 die Anzahl der Schüler ist, die die Note Befriedigend bekommen haben. Das Ergebnis ist die relative Häufigkeit 0,2. Wenn wir das Ergebnis in Prozent haben wollen, multiplizieren wir diese Zahl mit hundert: 0,2 · 100 = 20 %. Die relative Häufigkeit können wir wieder in eine Tabelle eintragen:

Auch die relative Häufigkeit können wir in einem Diagramm darstellen:

Kumulierte Häufigkeit

Neben der Spalte mit der absoluten Häufigkeit der Noten können wir noch eine weitere Spalte mit der kumulierten Häufigkeit anzeigen. Sieh dir die folgende Tabelle an:

In der zweiten Zeile haben wir in der Spalte „Kumulierte Häufigkeit“ den Wert 20. Den haben wir erhalten, indem wir die Anzahlen der Schüler in der ersten und in der zweiten Zeile addiert haben, also 7 + 13 = 20. In der dritten Zeile haben wir die kumulierte Häufigkeit 26, denn 7 + 13 + 6 = 26. Mit anderen Worten sind es die Summen der Häufigkeiten aller Zeilen, die oberhalb der aktuellen Zeile stehen, plus der Wert aus der aktuellen Zeile.

In der ersten Zeile ist die kumulierte Häufigkeit also gleich der absoluten Häufigkeit, in der letzten Zeile ist die kumulierte Häufigkeit gleich der Größe der gesamten Grundgesamtheit (in der Klasse sind dreißig Schüler).

Wir können auch die kumulierten relativen Häufigkeiten berechnen:

In der ersten Zeile haben wir bei der kumulierten relativen Häufigkeit wieder denselben Wert wie in der Spalte „Relative Häufigkeit“. In der letzten steht 1, was 100 % der Grundgesamtheit bedeutet.

Häufigkeitsverteilung einer stetigen Variablen

Ist die Zufallsgröße nicht diskret, sondern stetig, stellt man sie üblicherweise nicht in einer Tabelle oder einem Säulendiagramm dar, sondern in einem gewöhnlichen Diagramm wie eine klassische Funktion. Eine stetige Variable ist zum Beispiel die Temperatur. Auf den Seiten des Tschechischen Hydrometeorologischen Instituts können wir die Durchschnittstemperatur in Prag im Januar für die Jahre 1961–1990 nachschlagen und als stetige Kurve in einem Diagramm darstellen: