Distribuzione uniforme e distribuzione normale delle frequenze

Esistono due tipiche distribuzioni di frequenza che possiamo incontrare comunemente anche nella pratica: la distribuzione uniforme e la distribuzione normale delle frequenze.

Distribuzione uniforme delle frequenze

Distribuzione uniforme significa che nel nostro insieme di dati tutti i valori compaiono con la stessa frequenza. Possiamo per esempio contare quanti mesi hanno avuto gli anni 2000, 2001, …, 2009:

Se lanciamo un classico dado idealizzato, abbiamo probabilità $\frac{1}{6}$ che esca 1, probabilità $\frac{1}{6}$ che esca 2 e così via. Parliamo quindi di distribuzione uniforme di probabilità, perché ogni risultato ha la stessa probabilità.

Una distribuzione non uniforme si avrebbe se avessimo un dado truccato, su cui il sei uscisse sempre con probabilità $\frac{1}{3}$. Le altre facce non possono avere anch’esse probabilità $\frac{1}{3}$. Allo stesso modo potremmo contare il numero di giorni dei singoli mesi – non tutti i mesi hanno lo stesso numero di giorni, quindi non si tratterebbe di una distribuzione uniforme delle frequenze.

Distribuzione normale di probabilità

La distribuzione normale si chiama talvolta anche distribuzione gaussiana. Si usa soltanto per le variabili casuali continue. La distribuzione normale standard ha questa forma:

Questa curva è descritta dalla cosiddetta funzione gaussiana, che ha la forma:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$$

La funzione è piuttosto complicata e non devi ricordarla a memoria. Vediamo però che la distribuzione normale può essere parametrizzata con la media e con la deviazione standard o la varianza. Per diversi valori di media e deviazione otteniamo quindi grafici diversi:

La distribuzione normale è importante perché simula con buona fedeltà varie distribuzioni che possiamo incontrare davvero. Vediamo che la curva ha sempre un unico massimo assoluto, proprio nel punto del valore medio. Per esempio la curva rossa ha il massimo nel punto X = 0, quindi il valore medio di questa grandezza è zero. La curva è simmetrica: è simmetrica rispetto alla retta perpendicolare all’asse X che passa per la media, cioè per il punto X = 0. In altre parole, a sinistra dello zero la curva ha lo stesso aspetto che a destra dello zero. La curva verde ha le stesse proprietà, ma non con lo zero, bensì con il punto X = −2.

La distribuzione normale può descrivere fedelmente la distribuzione dell’intelligenza, ovvero del QI, tra le persone. Il valore medio del QI è – per definizione – 100. Inoltre le persone con un QI superiore a 100 sono circa tante quante quelle con un QI inferiore a 100. Le persone leggermente sotto la media sono circa tante quante quelle leggermente sopra la media, e gli sciocchi sono tanti quanti i geni. Anche se a volte non sembra :-). Grafico che mostra la distribuzione approssimativa del QI:

Nella distribuzione normale la deviazione standard ha un ruolo importante. Se abbiamo una distribuzione normale con deviazione standard σ, allora circa il 68% dei valori si trova nell’intervallo [μ − σ; μ + σ]. Quindi circa il 68% dei valori differisce dalla media al massimo di una deviazione standard. Circa il 95% dei valori si trova poi nell’intervallo [μ − 2σ; μ + 2σ] e il 99,7% dei valori nell’intervallo [μ − 3σ; μ + 3σ]. La figura seguente lo mostra in modo chiaro:

Collegamenti e fonti

• Alcune immagini provengono da Wikipedia, dalle voci Distribuzione normale e Intelligence.