Κατανομή συχνοτήτων

Η κατανομή μας περιγράφει το σύνολο των τιμών που μπορεί να πάρει η τυχαία μεταβλητή μας.

Μονοδιάστατη κατανομή συχνοτήτων

Την κατανομή τη δείχνουμε συνήθως με τη μορφή πίνακα ή γραφήματος. Ξεκινάμε εκτελώντας ένα πείραμα. Η κυρία Λογαρίθμου διδάσκει Μαθηματικά στο Β3 και μπορούμε να δούμε τι βαθμούς πήραν οι μαθητές της στον έλεγχο προόδου. Ο πληθυσμός αυτού του πειράματος θα είναι όλοι οι μαθητές του Β3. Είναι συνολικά 30. Τα αποτελέσματα του πειράματος τα καταγράφουμε σε πίνακα:

Αυτός ο πίνακας μας δείχνει λοιπόν την κατανομή συχνοτήτων της διακριτής μεταβλητής «τελικός βαθμός στα Μαθηματικά στον έλεγχο προόδου». Την ίδια κατανομή θα μπορούσαμε να τη δείξουμε με ραβδόγραμμα ως εξής:

Ομαδοποιημένη κατανομή συχνοτήτων

Στο προηγούμενο παράδειγμα είχαμε για κάθε βαθμό μόνο μία στήλη, που μας έλεγε πόσοι μαθητές πήραν τον συγκεκριμένο βαθμό. Αυτές τις συχνότητες μπορούμε να τις χωρίσουμε σε κάποιες ενδιαφέρουσες υποομάδες. Για παράδειγμα, μπορεί να μας ενδιαφέρει ποιον βαθμό πήραν τα αγόρια και ποιον τα κορίτσια. Αντί για μία στήλη θα εισαγάγουμε δύο, μία για τα αγόρια και μία για τα κορίτσια. Ένας τέτοιος πίνακας θα έδειχνε πια ομαδοποιημένη κατανομή συχνοτήτων.

Τα ίδια δεδομένα σε ραβδόγραμμα:

Σχετική συχνότητα

Μερικές φορές δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε τον απόλυτο αριθμό των μαθητών που πήραν τον έναν ή τον άλλο βαθμό. Μπορεί απλώς να θέλουμε να μάθουμε πόσο τοις εκατό των μαθητών πήραν 8 και τα παρόμοια. Γι' αυτό χρησιμεύει η σχετική συχνότητα.

Ξέρουμε ότι στο Β3 έχουμε συνολικά 30 μαθητές. Ας συμβολίσουμε αυτό το πλήθος με N, δηλαδή N = 30. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε τη σχετική συχνότητα, παίρνουμε την απόλυτη συχνότητα και τη διαιρούμε με το N. Άρα τη σχετική συχνότητα εμφάνισης του βαθμού 13, αν δεν ξεχωρίζουμε αγόρια και κορίτσια, τη βρίσκουμε διαιρώντας 6/30, όπου 6 είναι το πλήθος των μαθητών που πήραν βαθμό 13. Το αποτέλεσμα είναι σχετική συχνότητα 0,2. Αν θέλουμε το αποτέλεσμα σε ποσοστό, πολλαπλασιάζουμε αυτόν τον αριθμό με το εκατό: 0,2 · 100 = 20%. Τη σχετική συχνότητα μπορούμε πάλι να την καταγράψουμε σε πίνακα:

Και τη σχετική συχνότητα μπορούμε να την απεικονίσουμε σε γράφημα:

Αθροιστική συχνότητα

Δίπλα στη στήλη με την απόλυτη συχνότητα των τελικών βαθμών μπορούμε να δείξουμε και μία ακόμη στήλη με την αθροιστική συχνότητα. Δες τον παρακάτω πίνακα:

Στη δεύτερη γραμμή έχουμε στη στήλη αθροιστική συχνότητα την τιμή 20. Την πήραμε προσθέτοντας τα πλήθη των μαθητών στην πρώτη και στη δεύτερη γραμμή, δηλαδή 7 + 13 = 20. Στην τρίτη γραμμή έχουμε λοιπόν αθροιστική συχνότητα 26, επειδή 7 + 13 + 6 = 26. Με άλλα λόγια, είναι τα αθροίσματα των συχνοτήτων όλων των γραμμών που βρίσκονται πιο πάνω από την τρέχουσα γραμμή, συν την τιμή της τρέχουσας γραμμής.

Στην πρώτη γραμμή η αθροιστική συχνότητα θα είναι λοιπόν ίδια με την απόλυτη συχνότητα, στην τελευταία γραμμή η αθροιστική συχνότητα θα ισούται με το μέγεθος ολόκληρου του πληθυσμού (στην τάξη είναι τριάντα μαθητές).

Μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε αθροιστικές σχετικές συχνότητες:

Στην πρώτη γραμμή έχουμε πάλι στην αθροιστική σχετική συχνότητα την ίδια τιμή όπως στη στήλη Σχετική συχνότητα. Στην τελευταία έχουμε 1, που σημαίνει 100% του πληθυσμού.

Κατανομή συχνοτήτων συνεχούς μεταβλητής

Αν η τυχαία μεταβλητή δεν είναι διακριτή αλλά συνεχής, συνήθως δεν απεικονίζεται σε πίνακα ούτε σε ραβδόγραμμα, αλλά σε κοινό γράφημα ως κλασική συνάρτηση. Συνεχής μεταβλητή είναι για παράδειγμα η θερμοκρασία. Στα στοιχεία του Τσεχικού Υδρομετεωρολογικού Ινστιτούτου μπορούμε να βρούμε τη μέση θερμοκρασία στην Πράγα τον Ιανουάριο για τα έτη 1961–1990 και να την απεικονίσουμε σε γράφημα ως συνεχή καμπύλη: