Frekvenssijakauma
Jakauma kuvaa niiden arvojen joukkoa, joita satunnaismuuttujamme voi saada.
Yksiulotteinen frekvenssijakauma
Jakauma esitetään tyypillisesti taulukkona tai kuvaajana. Aloitetaan pienellä tutkimuksella. Opettaja Logaritmi opettaa luokalla 8C matematiikkaa, joten voimme katsoa, minkä arvosanan hänen oppilaansa saivat todistukseen. Tutkimuksen perusjoukkona ovat kaikki luokan 8C oppilaat. Heitä on yhteensä 30. Kirjoitamme tutkimuksen tulokset taulukkoon:
| Arvosana | Oppilaiden lukumäärä |
|---|---|
| 10 | 7 |
| 9 | 13 |
| 8 | 6 |
| 5 | 3 |
| 4 | 1 |
Tämä taulukko esittää diskreetin muuttujan ”matematiikan todistusarvosana” frekvenssijakauman. Saman jakauman voisimme esittää myös pylväsdiagrammina näin:
Ryhmittäinen frekvenssijakauma
Edellisessä esimerkissä jokaista arvosanaa kohti oli vain yksi pylväs, joka kertoi, kuinka moni oppilas sai kyseisen arvosanan. Voimme jakaa nämä frekvenssit vielä mielenkiintoisiin alaryhmiin. Meitä voisi esimerkiksi kiinnostaa, minkä arvosanan pojat saivat ja minkä tytöt. Yhden pylvään sijaan otamme käyttöön kaksi, toisen pojille ja toisen tytöille. Tällainen taulukko esittäisi jo ryhmittäisen frekvenssijakauman.
| Arvosana | Poikien lukumäärä | Tyttöjen lukumäärä |
|---|---|---|
| 10 | 5 | 2 |
| 9 | 6 | 7 |
| 8 | 4 | 2 |
| 5 | 1 | 2 |
| 4 | 1 | 0 |
Samat tiedot pylväsdiagrammina:
Suhteellinen frekvenssi
Joskus emme tarvitse tarkkaa lukumäärää niistä oppilaista, jotka saivat tietyn arvosanan. Voimme haluta tietää vain esimerkiksi sen, kuinka monta prosenttia oppilaista sai hylätyn arvosanan. Siihen tarkoitukseen on suhteellinen frekvenssi.
Tiedämme, että luokalla 8C on yhteensä 30 oppilasta. Merkitään tätä lukumäärää N:llä eli N = 30. Suhteellinen frekvenssi lasketaan jakamalla absoluuttinen frekvenssi luvulla N. Arvosanan 8 suhteellinen frekvenssi, kun poikia ja tyttöjä ei erotella, saadaan siis jakamalla 6/30, missä 6 on arvosanan 8 saaneiden oppilaiden lukumäärä. Tulokseksi saadaan suhteellinen frekvenssi 0,2. Jos haluamme tuloksen prosentteina, kerromme luvun sadalla: 0,2 · 100 = 20 %. Suhteellisen frekvenssin voimme taas kirjoittaa taulukkoon:
| Arvosana | Absoluuttinen frekvenssi | Suhteellinen frekvenssi |
|---|---|---|
| 10 | 7 | 0,2333… |
| 9 | 13 | 0,4333… |
| 8 | 6 | 0,2 |
| 5 | 3 | 0,1 |
| 4 | 1 | 0,0333… |
Myös suhteellisen frekvenssin voimme esittää kuvaajana:
Kumulatiivinen frekvenssi
Absoluuttisen frekvenssin sarakkeen viereen voimme lisätä toisen sarakkeen, jossa on kumulatiivinen frekvenssi. Katso seuraavaa taulukkoa:
| Arvosana | Oppilaiden lukumäärä | Kumulatiivinen frekvenssi |
|---|---|---|
| 10 | 7 | 7 |
| 9 | 13 | 20 |
| 8 | 6 | 26 |
| 5 | 3 | 29 |
| 4 | 1 | 30 |
Toisella rivillä kumulatiivisen frekvenssin sarakkeessa on arvo 20. Sen saimme laskemalla yhteen ensimmäisen ja toisen rivin oppilasmäärät eli 7 + 13 = 20. Kolmannella rivillä kumulatiivinen frekvenssi on siis 26, koska 7 + 13 + 6 = 26. Toisin sanoen se on kaikkien nykyistä riviä ylempien rivien frekvenssien summa lisättynä kyseisen rivin arvolla.
Ensimmäisellä rivillä kumulatiivinen frekvenssi on siis sama kuin absoluuttinen frekvenssi, ja viimeisellä rivillä kumulatiivinen frekvenssi on yhtä suuri kuin koko perusjoukon koko (luokalla on kolmekymmentä oppilasta).
Voimme laskea myös kumulatiiviset suhteelliset frekvenssit:
| Arvosana | Suhteellinen frekvenssi | Kumulatiivinen suhteellinen frekvenssi |
|---|---|---|
| 10 | 0,2333 | 0,2333… |
| 9 | 0,4333 | 0,6666… |
| 8 | 0,2 | 0,86666… |
| 5 | 0,1 | 0,96666… |
| 4 | 0,0333 | 1 |
Ensimmäisellä rivillä kumulatiivisen suhteellisen frekvenssin arvo on jälleen sama kuin suhteellisen frekvenssin sarakkeessa. Viimeisellä rivillä arvo on 1, mikä tarkoittaa 100 % perusjoukosta.
Jatkuvan muuttujan frekvenssijakauma
Jos satunnaismuuttuja ei ole diskreetti vaan jatkuva, sitä ei yleensä esitetä taulukossa eikä pylväsdiagrammissa, vaan tavallisessa koordinaatistossa tavallisen funktion kuvaajana. Jatkuva muuttuja on esimerkiksi lämpötila. Kuvitellaan, että meillä on mitattuna keskilämpötila jokaiselta tammikuun päivältä. Esitetään lämpötilat kuvaajana jatkuvana käyränä (aineisto on esimerkkiaineisto):
