Proprietà commutativa

La proprietà commutativa è una caratteristica di operazioni come per esempio l’addizione. Possiamo notare che nell’addizione l’ordine non conta, quindi 3 + 5 è la stessa cosa di 5 + 3. Se sommiamo due numeri reali qualsiasi, a + b, il risultato sarà lo stesso anche scambiando gli addendi: b + a. Se un’operazione soddisfa questa condizione, diciamo che è commutativa.

Un altro esempio di operazione commutativa è la moltiplicazione, perché 2 · 6 ha lo stesso risultato di 6 · 2, e lo stesso vale per due numeri qualsiasi a, b:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Un esempio di operazione che non è commutativa è la sottrazione, perché 7 − 4 è diverso da 4 − 7. Nel primo caso otteniamo il risultato 3, nel secondo −3. Un altro esempio è la divisione, perché 2 / 5 è diverso da 5 / 2.

Fai però attenzione alle altre proprietà delle operazioni, per esempio alla precedenza della moltiplicazione. Se abbiamo l’espressione 1 + 2 · 3, non possiamo dire che è la stessa cosa di 2 + 1 · 3. La moltiplicazione ha infatti la precedenza sull’addizione. Ci possiamo aiutare con le parentesi: l’espressione 1 + 2 · 3 è uguale a 1 + (2 · 3). Se vogliamo applicare la proprietà commutativa dell’addizione, possiamo farlo, ma dobbiamo portarci dietro l’intera parentesi: 1 + (2 · 3) è uguale a (2 · 3) + 1, e questo è uguale a (3 · 2) + 1 se applichiamo anche la proprietà commutativa della moltiplicazione.

Operazioni tra insiemi e proprietà commutativa

Non solo le operazioni con i numeri possono essere commutative, ma anche per esempio le operazioni con gli insiemi. Per esempio l’intersezione di insiemi A e B è un’operazione commutativa. L’intersezione di due insiemi è formata dagli «elementi che si trovano in entrambi gli insiemi», quindi

$$A\cap B=B\cap A$$

Esattamente lo stesso accade con l’unione di insiemi A e B, il cui risultato è formato dagli «elementi che si trovano in almeno uno degli insiemi», e dunque:

$$A\cup B=B\cup A$$

Non è commutativa, per esempio, la differenza tra insiemi.

Vettori

Un’altra operazione commutativa si trova tra le operazioni con i vettori, ed è l’addizione di vettori – in generale l’addizione è di solito un’operazione commutativa. In questo caso, se abbiamo due vettori $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$, vale che

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

Lo mostra graficamente la figura seguente:

La somma $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ è rappresentata dal «percorso in alto», in cui applichiamo prima il vettore rosso $\overrightarrow{u}$ e solo dopo il vettore blu $\overrightarrow{v}$. La somma $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ è rappresentata dal «percorso in basso»: prima seguiamo il percorso del vettore blu $\overrightarrow{v}$ e poi quello del vettore rosso $\overrightarrow{u}$. Il risultato però è lo stesso: i vettori finiscono nello stesso punto.

Puoi immaginarlo come se partissi da un certo posto e camminassi cinquanta metri verso nord e poi venti metri verso ovest. Se prima camminassi venti metri verso ovest e poi cinquanta metri verso nord, arriveresti nello stesso posto. Questo modo di camminare è quindi commutativo.

Logica

Tra le operazioni commutative rientrano anche gli operatori logici «e allo stesso tempo» (congiunzione) e «o» (disgiunzione). Significa che la proposizione «il numero 5 è dispari e allo stesso tempo primo» ha la stessa validità della proposizione «il numero 5 è primo e allo stesso tempo è dispari». Analogamente per la disgiunzione: «il numero 6 è primo o è pari» ha la stessa validità della proposizione «il numero 6 è pari o è primo».

Non è però commutativa l’implicazione, quindi la proposizione «se vinco al lotto 6 su 49, allora sarò ricco» non è la stessa cosa di «se sarò ricco, allora vincerò al lotto 6 su 49».