Completamento del quadrato
Con il metodo del completamento del quadrato possiamo scrivere la funzione quadratica ax2 + bx + c nella forma (x + m)2 + n.
Algoritmo del completamento del quadrato
L’algoritmo usa la classica formula per l’elevamento al quadrato di un binomio:
Il procedimento è il seguente. Per ora supponiamo che sia a = 1. Immaginiamo di avere la funzione quadratica f(x) = x2 + 6x + 1 e di volerla trasformare nella forma (x + m)2 + n. Per prima cosa determiniamo i valori della prima parentesi: (x + m)2. Quale numero dobbiamo mettere al posto di m? Secondo la formula deve valere l’uguaglianza (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. Nella funzione f abbiamo x2, e va bene. Ma al posto del termine di primo grado abbiamo 6x. Che valore dobbiamo scegliere per m affinché valga 6x = 2mx? Evidentemente deve essere m = b/2 = 6/2 = 3. Al posto di m mettiamo quindi sempre la metà del valore del numero b della funzione quadratica.
Abbiamo ottenuto così la forma (x + 3)2 + n. Resta da determinare il numero n. Sappiamo già che vale (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. La parte x2 + 2mx è quella che vogliamo, ma l’espressione m2 è di troppo: nella funzione f non ha nessun corrispondente. Perciò dal risultato attuale sottraiamo m2. Otteniamo così la forma (x + m)2 − m2, che dopo aver eliminato le parentesi è uguale a x2 + 2mx + m2 − m2. Dopo la sottrazione abbiamo quindi solo x2 + 2mx.
Nella funzione f però abbiamo ancora il termine noto c. Lo aggiungiamo semplicemente. Otteniamo così la forma (x + m)2 − m2 + c, dopo lo sviluppo x2 + 2mx + m2 − m2 + c e dopo la semplificazione x2 + 2mx + c. Poiché m = b/2, questa espressione è uguale a x2 + bx + c, cioè sviluppando l’espressione (x + m)2 − m2 + c otteniamo di nuovo la funzione di partenza: i calcoli erano giusti. (Ripeto che a = 1, quindi non manca da nessuna parte.)
Per la funzione di esempio f otteniamo così l’espressione nella forma di quadrato (x + 3)2 − 9 + 1 = (x + 3)2 − 8. Possiamo provare a sviluppare di nuovo per verifica:
Il metodo del completamento del quadrato si usa per esempio quando vuoi disegnare il grafico di una funzione quadratica.
Quando a ≠ 1
Nel caso in cui abbiamo una funzione per cui non vale a = 1, procediamo raccogliendo a fattor comune il numero a e andiamo avanti come già sappiamo fare. Esempio:
Raccogliamo a fattor comune il due:
La funzione dentro la parentesi sappiamo già trasformarla in un quadrato.
Sostituiamo questo risultato nell’equazione precedente e otteniamo:
