Numeri razionali
I numeri razionali sono tutti i numeri che si possono scrivere come quoziente di due numeri interi, cioè sotto forma di frazione.
Definizione
I numeri razionali sono dunque tutti i numeri che si possono scrivere nella forma
La condizione che entrambi i numeri siano interi ha un significato evidente: se scegliessi un numero che non è razionale, per esempio π, e costruissi la frazione così:
otterresti di nuovo il numero π, che non è razionale. Per questo numeratore e denominatore devono essere numeri interi. E poiché non si può dividere per zero, il denominatore deve essere diverso da zero.
Possiamo anche dire che i numeri razionali sono i numeri con sviluppo decimale finito e i numeri con sviluppo decimale infinito in cui una parte si ripete periodicamente. Ecco alcuni esempi di numeri razionali, prima in forma di frazione:
e poi numeri in forma decimale: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333…=
Scrittura periodica
Nell’esempio precedente avevamo il numero 0,3333… Si tratta della scrittura decimale della frazione 1/3 ed è un numero con sviluppo decimale infinito. Eppure è razionale, perché lo sviluppo è periodico. Uno sviluppo periodico significa che da un certo punto in poi si ripete sempre la stessa sequenza di cifre. Nel nostro caso si ripeteva all’infinito il 3. Ma all’infinito può ripetersi anche, per esempio, la sequenza di cifre 12345: sarà comunque un numero periodico, quindi razionale.
Dunque ogni numero con sviluppo decimale finito è un numero razionale. Anche ogni numero con sviluppo decimale infinito in cui una parte si ripete periodicamente è un numero razionale. Un numero con sviluppo decimale infinito in cui nessuna parte si ripete periodicamente è un numero irrazionale.
Il periodo si indica con tre puntini oppure, più spesso, con una lineetta sopra le cifre che si ripetono. Si può ripetere una sola cifra, ma anche più cifre. Il periodo può iniziare subito dopo la virgola oppure in un punto successivo. Questi sono tutti numeri periodici:
Notazione e significato
Indichiamo i numeri razionali con la lettera Q con gli archi doppi: ℚ. Viene dall’italiano «quoziente», cioè il risultato di una divisione.
I numeri razionali servono a indicare una parte di un tutto. Per esempio «la metà» o «un decimo». Sono nomi di parti di un tutto che nei numeri razionali si esprimono come quoziente 1/2 e 1/10. In questi casi il denominatore indica il tutto e il numeratore la parte del tutto. Se il numeratore è uguale al denominatore, abbiamo l’intero. Queste quantità si trasformano poi di solito in percentuali.
Proprietà
- I numeri razionali formano un insieme infinito e numerabile.
- I numeri razionali sono chiusi rispetto all’addizione, alla sottrazione, alla moltiplicazione e alla divisione. Significa che, dividendo due numeri razionali, otteniamo di nuovo un numero razionale. Questa è una novità rispetto ai numeri interi, che non erano chiusi rispetto alla divisione.
- I numeri razionali contengono tutti i numeri interi. Se tutti i numeri razionali si possono esprimere con una frazione a/b, basta prendere b = 1 e, dividendo a/1 = a, otteniamo sempre il valore del numeratore.
- Se prendiamo due numeri razionali a e b per cui vale a < b, troviamo sempre un altro numero razionale q per cui vale: a < q < b. In altre parole, tra due numeri razionali qualsiasi possiamo sempre trovare un altro numero razionale. Vale anche una versione più forte: tra due numeri razionali qualsiasi esistono infiniti altri numeri razionali.
- Una conseguenza della proprietà precedente è che non esiste il più piccolo numero razionale positivo (né il più grande negativo). Possiamo usare una dimostrazione per assurdo. Sia m il più piccolo numero razionale positivo. Allora non dovremmo riuscire a trovare un numero razionale positivo più piccolo. Tuttavia, per la proprietà precedente vale 0 < m, e quindi esiste un numero razionale s per cui 0 < s < m. Abbiamo trovato un numero s maggiore di zero (cioè positivo) e minore del numero m. Questo contraddice l’ipotesi che m sia il più piccolo numero razionale positivo.
Operazioni con i numeri razionali
Tutte le operazioni comuni e fondamentali sono descritte nell’articolo sulle frazioni.
Trasformare un numero periodico in frazione
Poiché un numero periodico è anche un numero razionale, deve essere possibile trasformarlo in frazione. Vediamo come si fa. All’inizio abbiamo il numero periodico a = 0,333… Scriviamo
Ora applichiamo i classici principi di equivalenza delle equazioni e moltiplichiamo l’intera equazione per dieci:
A destra il 3 è passato alle unità, mentre dopo la virgola sono rimasti infiniti 3. Ora sottraiamo a dall’equazione, cioè sottraiamo 0,333…, e in questo modo ci liberiamo dello sviluppo infinito.
Questo passaggio era forse un po’ complicato, quindi lo scrivo per esteso. Abbiamo eseguito questa operazione:
Dividiamo l’equazione 9a = 3 per nove e otteniamo il risultato:
Proviamo con un altro esempio:
Il procedimento sarà leggermente diverso. Nell’esempio precedente il periodo era lungo uno. Per la precisione, il periodo poteva essere lungo quanto volevamo, perché si ripetevano sempre le stesse cifre, ma ci faceva comodo averlo lungo uno. Adesso abbiamo un periodo lungo due. Anche qui potremmo prendere un periodo lungo sei, ma non ci conviene. Per sottrarre davvero tutto il periodo, questa volta dobbiamo moltiplicare per cento:
Sottraiamo una volta a:
E dividiamo per 99:
Se provi a dividere questi numeri con la calcolatrice, ottieni proprio 1,454545… La maggior parte delle calcolatrici però arrotonda, quindi può mostrarti un risultato leggermente diverso.
Una curiosità con 0,9999…
Per curiosità proviamo ancora a trasformare in frazione il numero periodico
Moltiplichiamo per dieci:
Sottraiamo a:
Dividiamo per nove:
Vediamo che abbiamo ottenuto uno, quindi il numero 0,999… è uguale al numero 1.
