Numeri primi
I numeri primi sono i numeri divisibili soltanto per uno e per se stessi. Le proprietà dei numeri primi sono molto usate, per esempio, in crittografia.
Definizione ed esempi
Un numero primo è un numero naturale divisibile senza resto soltanto per uno e per se stesso, mentre il numero 1 non è primo. Il più piccolo numero primo è il due: è divisibile senza resto per uno e per due. È anche l’unico numero primo pari. Tutti gli altri numeri primi sono dispari, perché ogni altro numero pari, oltre che per uno e per se stesso, è divisibile anche per due.
Successione dei primi numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271…
Dei numeri primi si occupa il teorema fondamentale dell’aritmetica, secondo cui ogni numero intero maggiore di 1 si può scomporre in un prodotto di numeri primi.
Verifica se un numero è primo
Proprietà dei numeri primi
- I numeri primi sono infiniti. La dimostrazione si trova nell’articolo sulla dimostrazione per assurdo.
- Per ogni numero intero z>1 nell’intervallo (z; 2z) esiste almeno un numero primo. Esempio: per z = 2 abbiamo l’intervallo (2; 4). L’unico numero intero in questo intervallo è il tre, che è un numero primo. Per z = 5 otteniamo l’intervallo (5; 10), cioè i numeri 6, 7, 8, 9. Il numero 7 è primo. Lo stesso vale per i valori più grandi di z.
- Un primo di Mersenne è un numero primo inferiore di uno a una potenza intera di due. Un primo di Mersenne M ha quindi la forma M = 2z − 1, dove z è un numero naturale. Un esempio è il numero primo 3, perché 22 − 1 = 3. Oppure il 7, perché 23 − 1 = 7.
- I più grandi numeri primi noti sono di solito proprio quelli di Mersenne. Per esempio, il 23 agosto 2008 fu trovato il primo di Mersenne M43112609, dove il pedice indica l’esponente z. Si tratta quindi del numero primo 243112609 − 1, che ha 12.978.189 cifre e a quel tempo era il più grande numero primo noto.
Successione senza numeri primi
Si può trovare una successione finita, lunga a piacere, di numeri naturali consecutivi tra i quali non c’è nemmeno un numero primo. Una successione di questo tipo può avere la forma k!+2, k!+3, …, k!+k e contiene k − 1 numeri composti consecutivi (il punto esclamativo indica il fattoriale).
Per esempio, per k = 6 otteniamo cinque numeri composti consecutivi della forma: 720 + 2, 720 + 3, 720 + 4, 720 + 5, 720 + 6. Questi numeri sono divisibili rispettivamente per due, tre, quattro, cinque e sei, perché il numero 6! = 720 è certamente divisibile per tutti questi numeri, dato che è il loro prodotto: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2. Se il numero 720 è divisibile per tre, allora anche il numero 720 + 3 deve essere divisibile per tre. Lo stesso vale per gli altri.
Piccolo teorema di Fermat
Per ogni numero primo p e per ogni numero intero z, il numero zp − z è divisibile per il numero primo p.
Esempio: prendiamo il numero primo p = 3 e il numero intero z = 4. Calcoliamo il valore del numero 43 − 4, che è uguale a 60. E infatti 60/3 = 20, quindi il tre divide il sessanta senza resto, in accordo con il teorema di Fermat. Un altro esempio: p = 7, z = 10. Calcoliamo il risultato intermedio 107 − 10 = 9999990 e dividiamo questo numero per sette: 9999990/7 = 1428570. Di nuovo abbiamo ottenuto un risultato senza resto.
Questioni aperte
Sui numeri primi esistono molte congetture famose che finora (nel 2011) non si è riusciti né a dimostrare né a confutare. Le due più note sono:
- Infinità dei numeri primi gemelli: una coppia di numeri primi gemelli è una coppia (z; z + 2) in cui entrambi i numeri sono primi. Per esempio (3; 5) oppure (29; 31). La domanda è se queste coppie siano infinite. Si suppone di sì, ma manca la dimostrazione.
- Ipotesi di Riemann: tutti gli zeri non banali della funzione zeta di Riemann hanno parte reale uguale a
