Numeri reali
I numeri reali sono tutti i numeri che possiamo scrivere con uno sviluppo decimale finito o infinito. Possiamo dire che i numeri reali si ottengono dall’unione dell’insieme dei numeri razionali e di quello dei numeri irrazionali.
Notazione e significato
Indichiamo i numeri reali con la lettera R, di solito con la barra verticale doppia: ℝ.
Se immagini una retta numerica infinita, i numeri reali rappresentano tutte le possibili distanze tra due punti che possiamo trovare sulla retta.
I numeri reali contengono tutti i numeri naturali, gli interi, i numeri razionali e i numeri irrazionali.
La maggior parte delle funzioni con cui si lavora normalmente in matematica ha come dominio proprio l’insieme dei numeri reali (per esempio seno e coseno, le funzioni lineari) oppure un suo intervallo (per esempio il logaritmo).
Esempi di numeri reali: 1, −3, 0,126, −42,47, e, 0, −2π.
Proprietà
- I numeri reali formano un insieme infinito non numerabile.
- I numeri reali sono chiusi rispetto all’addizione, alla sottrazione, alla moltiplicazione e alla divisione (per un divisore diverso da zero). Se prendiamo due numeri reali e li moltiplichiamo, otteniamo di nuovo un numero reale.
- Un numero reale è algebrico, cioè è radice di un polinomio a coefficienti interi, oppure trascendente, cioè non è radice di alcun polinomio di questo tipo.
- Ogni numero reale ha un valore assoluto, che rappresenta la distanza dall’origine della retta numerica.
- Ogni numero reale non negativo ha una radice quadrata, che è a sua volta un numero reale. Al contrario, nessun numero reale negativo ha come radice quadrata un numero reale.
