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Numeri interi

I numeri interi (o interi relativi) sono i numeri privi di parte decimale: comprendono i numeri naturali, i loro opposti (i numeri negativi) e lo zero.

Proprietà

Numeri volanti

I numeri interi formano un insieme che contiene i numeri …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Di solito lo indichiamo con la lettera Z con la barra centrale doppia: ℤ, dal tedesco «Zahlen» (numeri). I numeri interi formano un insieme infinito e numerabile.

I numeri interi hanno, per esempio, queste proprietà:

  1. Sono chiusi rispetto all’addizione e alla moltiplicazione, proprio come i numeri naturali. Significa che, se sommiamo due numeri interi, otteniamo di nuovo un numero intero.
  2. A differenza dei numeri naturali, gli interi sono chiusi anche rispetto alla sottrazione. I naturali non lo erano, perché dalla differenza di due naturali potevamo ottenere un numero negativo. Per gli interi questo non è un problema, perché i numeri negativi ne fanno parte.
  3. Come i numeri naturali, non sono chiusi rispetto alla divisione. Resta vero che dividendo possiamo ottenere un numero non intero.
  4. Per ogni numero intero c esiste il numero opposto −c. Se abbiamo il numero 10, il suo opposto è −10. Per 55 è −55. Lo stesso vale per i numeri negativi: per −13 l’elemento opposto è 13. Se abbiamo un numero intero c e il suo opposto −c, la loro somma è zero: c + (−c) = 0. Perciò l’opposto di zero è ancora zero.

Numeri pari e dispari

Possiamo dividere i numeri interi in pari e dispari. I numeri pari sono quelli divisibili per due, cioè 2, −4, −8, 40, 124 ecc. I numeri dispari hanno resto uno nella divisione per due, cioè sono i numeri −1, 1, 5, 19, −41 ecc. Osserva che anche per i numeri negativi distinguiamo tra pari e dispari (cioè −5 è davvero dispari) e che lo zero è un numero pari.

Proprietà rispetto all’addizione: se sommi due numeri pari, ottieni di nuovo un numero pari. Le altre proprietà sono nella tabella seguente:

pari+pari=paripari+dispari=disparidispari+dispari=pari

Una tabella simile vale per la moltiplicazione:

pari⋅pari=paripari⋅dispari=paridispari⋅dispari=dispari

Divisione con resto

Anche nell’insieme dei numeri interi possiamo definire la divisione con resto, in modo simile a quanto abbiamo fatto per i numeri naturali; dobbiamo solo occuparci dei numeri negativi. La definizione di base, questa volta, è la seguente:

a=q⋅b+r,a,q∈Z,b∈Z−{0},0≤r<|b|

In questa espressione dividiamo a:b, il numero q è il risultato (quoziente) e il numero r è il resto della divisione. Il numero b deve essere diverso da zero, perché non si può dividere per zero. Il resto non deve essere negativo e deve essere minore del valore assoluto di b, e questo garantisce che quoziente e resto risultino univoci.

Come si presenta una divisione di questo tipo? Proviamo a dividere −21:4. I numeri si scrivono così:

−21=−6⋅4+3

Il quoziente è −6 e il resto è 3. Potrebbe sorprenderti che il risultato sia diverso da quello che otterremmo con tutti i numeri positivi:

21=5⋅4+1

Qui il quoziente sarebbe 5 e il resto 1. La differenza sta proprio nei numeri negativi. Con i numeri positivi, nel primo passaggio cerchiamo il più grande numero intero che non supera 21 ed è divisibile per quattro senza resto. È il numero 20. Perciò dividiamo 20:4 = 5 e otteniamo il nostro cinque. Il resto si ottiene poi dalla differenza 21 − 20.

Con i numeri negativi procediamo allo stesso modo. Cerchiamo il più grande numero che non supera −21 ed è divisibile per 4 senza resto. Il numero −20, però, è maggiore di −21. Perciò il più grande numero che non supera −21 ed è divisibile per 4 senza resto è −24. Il resto si ottiene di nuovo dalla differenza −21 − (−24) = −21 + 24 = 3.

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